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[Risolto] Esercizio iperbole

  

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Salve a tutti, non capisco bene come impostare il seguente esercizio:

Nel piano euclideo con riferimento cartesiano R = Oxy si consideri l'iperbole C passante per il punto A = (1, 2), avente un asse di simmetria coincidente con la retta r : x - 2y + 1 = 0 e un asintoto coincidente con la retta 4x - 3y - 1 = 0.
a) Determinare l'equazione dell'altro asintoto e l'equazione cartesiana dell'iperbole nel riferimento cartesiano R.
b) Determinare una forma canonica per C e una rototraslazione che la riduce in tale forma.

Ho ragionato in questo modo: se r è un asse, posso considerare il vettore (1,-2) e (2,1) che risulta ortogonale ad esso, considerare i versori "generati" da essi per compiere la rototraslazione richiesta, ma io la farei intorno al centro che non ho. Non avendo neanche i fuochi, non saprei bene come ricavarmelo. L'altro asintoto lo determinerei dopo aver determinato la cartesiana, ma potrei farlo anche prima? Inoltre come posso ricavarmi i valori dei semiassi? Se ne avessi almeno uno, l'altro potrei determinarlo dalla forma canonica ponendo i valori trovati dalla rototraslazione e considerando il fatto che passa in A. Non so bene come mettere insieme il tutto. Grazie a chi potrà aiutarmi

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Edit: ho provato a fare il ragionamento inverso quando occorre determinare gli assi di simmetria, che si può fare anche partendo dal centro. Dunque se considero le parametriche di r trovo che passa nel un punto (-1,0). E' possibile che il centro sia questo? E di conseguenza penserei che prendendo appunto l'ortogonale trovo l'altro asse, ovvero 2x+y+2=0, se non sto errando

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Asse di simmetria
* r ≡ x - 2*y + 1 = 0 ≡ y = (x + 1)/2 (pendenza 1/2, inclinazione α = arctg(1/2))
Asintoto
* s ≡ 4*x - 3*y - 1 = 0 ≡ y = (4*x - 1)/3 (pendenza 4/3, inclinazione arctg(4/3))
Angolo <r, s>
* θ = arctg(4/3) - arctg(1/2)
* tg(θ) = tg(arctg(4/3) - arctg(1/2)) = 1/2
Centro
* (y = (x + 1)/2) & (y = (4*x - 1)/3) ≡ C(1, 1)
Secondo asse di simmetria
* y = 3 - 2*x
------------------------------
Il resto richiede più dattilografia di quanta possa esercitarne ptima della prossima terapia.
Rotazione di θ attorno a C e traslazione C → O
oppure
Traslazione C → O e rotazione di θ attorno a O
Secondo asintoto: formule addizione/sottrazione della tangente.
Condizione di appartenenza di A e rapporto dei semiassi per gli asintoti determinano la forma normale standard
* (x/a)^2 - (y/b)^2 = ± 1
Invertendo rotazione e traslazione si trova l'equazione nel riferimento R.

@exprof Salve, vorrei una conferma o sapere se sto sbagliando: per "rapporto dei semiassi per gli asintoti" intende la formula (y-yc)=(b/a)(x-xc)? (userei questa in quanto è rototraslata). Se così fosse, troverei a=3 e b=4. E' corretto?

@fedefanni
non ti so dire nulla sui valori perché ieri non risolsi l'intero problema anzi, nella fretta di scappar via, trascurai di segnalarti che devi anche imporre il vincolo di iperbolicità alla conica generica come nell'articolo al link
http://it.wikipedia.org/wiki/Rappresentazione_matriciale_delle_coniche#Classificazione_metrica_delle_coniche

@exprof La ringrazio per il suo tempo.



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SOS Matematica

4.6
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