Trovare, se esiste, o dimostrare che non esiste una funzione f(x) continua di dominio [0,1], derivabile in (0,1) e tale che il limite del rapporto incrementale in zero non esista (né finito né infinito) e che la derivata prima nell’intervallo sia sempre positiva.
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Livello 0
Si può trovare una funzione come quella richiesta nell'insieme delle funzioni continue in [0,1] e derivabili in (0,1).
Nel cercarla l'idea è che la funzione deve toccare alternativamente due semirette uscenti dall'origine.
Ad esempio rientrando dentro una scala autosimile. Allora siccome una scala deve avere gradini crescenti in progressione geometrica potrebbe funzionare una funzione come la seguente:
$t \cdot sen(ln(t)) + 2t $
per $t\neq 0$ oppure per $t = 0$
Calcolando la sua derivata si ha:
$sen(ln(t)) + cos(ln(t))+2$
siccome
$|sen(x)+cos(x)| \leq \sqrt{2}$
la derivata è strettamente positiva.
Il rapporto incrementale oscillerà fra 1 e 3 in ogni intorno dell'origine e quindi il limite non può esistere.
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Livello 2
F(x)=x^2cos(1/x)
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Livello 5
@pazzouomo come si fa a trovare ?
È continua in x=0 in quanto cos(1/x) è limitata e il termine quadratico fa si che il lim per x->0 sia 0.
La dervivata e (Df)(x)=2xcos(1/x)+(x^2/x^2)sen(1/x)=2xcos(1/x)+sen(1/x) che per x->0 non ammette limite
Ah cavolo però la derivata prima deve essere sempre positiva...non è una buona funzione, scusa
