In un rettangolo la base supera di 3a il doppio dell’altezza. Costruisci esternamente al rettangolo quattro triangoli isosceli, aventi per basi i lati del rettangolo e le altezze, relative a essi, di lunghezza 8a. Sapendo che l’area dell’ottagono così ottenuto supera di 168a^2 l’area del rettangolo dato, determina il perimetro del rettangolo e dell’ottagono.
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Livello 2
@marika dove ti blocchi esattamente?
Non riesco ad impostarlo per risolverlo!
L'area è data dalla somma dell'area del rettangolo e dei triangoli $ A = A_{rett} + A_{triang} $
Calcoliamo l'area dei triangoli:
$ A_{triang} = 2A_{piccolo}+2A_{grande} $
cioè due volte l'area di un triangolo costruito sulla base minore del rettangolo e due volte l'area del triangolo costruito sulla base maggiore del rettangolo.
$ A_{piccolo} = \frac{BC \cdot 8a}{2} = BC \cdot 4a $
$ A_{grande} = \frac{AB \cdot 8a}{2} = AB \cdot 4a = (3a + 2 BC)4 a $
L'area totale dei triangoli è $ A_{triang} = 2\frac{BC \cdot 8a}{2} = BC \cdot 4a + 2(3a + 2 BC)4 a = 24a^2 + 24a \cdot BC $
Allora l'area del rettangolo è:
$ A_{rett} = 168 a^2-A_{triang} = 168a^2-(24a^2 + 24a \cdot BC) = 144a^2-24a\cdot BC $
Ma l'area del rettangolo possiamo calcolarla anche con $ AB \cdot BC $
quindi uguagliando le due espressioni:
$ AB \cdot BC =144a^2-24a\cdot BC $
$ (3a + 2BC)\cdot BC = 144a^2-24a\cdot BC $
$ 3a \cdot BC + 2 BC^2 = 144a^2-24a\cdot BC $
$ 2BC^2 + 27a \cdot BC -144 a^2 = 0 $
che è un'equazione di secondo grado in $ BC $ (ma anche in $ a $).
Calcoliamo $ BC $ ottenendo: $ BC = \frac{-27a \pm 3a\sqrt{209}}{4} $ ma ovviamente la lunghezza non può avere valore negativo, quindi
$ BC = \frac{-27a + 3a\sqrt{209}}{4} $
Allora $ AB = \frac{-21a + 3a\sqrt{209}}{4} $
Da qui puoi calcolare il perimetro del rettangolo.
Per il perimetro dell'ottagono usiamo il teorema di pitagora per determinare i lati obliqui:
$ l_{corto} = \sqrt{\frac{BC^2}{4}+16a^2} $
$ l_{lungo} = \sqrt{\frac{AB^2}{4}+16a^2} $
Quindi il perimetro è: $ 4l_{corto} + 4l_{lungo} $
I conti sono bruttini perché il delta non è un quadrato perfetto, ma magari ho solo sbagliato i conti. Il procedimento, comunque, è corretto!
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Livello 5
@pazzouomo è un po' contorto cosi però
Ciao,
Nel immaginare puoi vedere il procedimento.
Ho utilizzato come incognita l'altezza del rettangolo e ho impostato un'equzione uguagliando
AreaOttagono=AreaRettangolo+168a^2
Se non è chiaro chiedi pure
🙂
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Livello 1
Questo dovrebbe essere il procedimento.
3
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Livello 0
un lato del rettangolo è b
un altro lato del rettangolo è 2*b+3*a
l'altezza dei triangoli è 8*a
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Livello 1
