Partiamo con un esempio, per poi definire cosa sono le permutazioni con ripetizione.
Calcoliamo quanti anagrammi, anche privi di significato, si possono formare con le lettere della parola TETTO. Pensiamo per il momento che le tre T non siano uguali.
Se calcoliamo la permutazione $P_{5}$ di 5 elementi, consideriamo come diverse anche
le parole che differiscono soltanto per la posizione delle tre T colorate. Per esem- pio, mettendo la E e la O nelle prime due posizioni, con le permutazioni sono distinte le parole:
EOTTT, EOTTT, EOTTT, EOTTT, EOTTT, EOTTT
Abbiamo 6 casi diversi, corrispondenti alle permutazioni delle tre T diverse:
3 !=6
Questi casi sono invece indistinguibili, e uguali a EOTTT, se consideriamo la T come lettera ripetuta più volte. Se consideriamo le 120 permutazioni di 5 lettere, in questo caso troviamo ogni raggruppamento ripetuto 6 volte. Quindi per ottenere il numero degli anagrammi di TETTO dobbiamo dividere 120 per 6:
$\frac{120}{6}=20$
Per indicare che dei cinque elementi tre corrispondono a uno stesso elemento ripetuto usiamo il simbolo $P_{5}^{(3)},$ che si legge: “permutazioni di 5 elementi di cui 3 ripetuti”. Abbiamo che:
$P_{5}^{(3)}=\frac{P_{5}}{P_{3}}=\frac{5 !}{3 !}=20$
Chiamiamo i raggruppamenti di questo tipo permutazioni con ripetizione.
In generale:
$$P_{n}^{(k)}=\frac{n !}{k !}$$
La formula si generalizza ulteriormente quando nell’insieme di $n$ elementi gli elementi ripetuti sono $k, h, \ldots, r,$ dove
$k+h+\ldots+r \leq n$
DEFINIZIONE
Permutazioni con ripetizione Le permutazioni con ripetizione di $n$ elementi, di cui $h, k, \ldots$ ripetuti, sono tutti i gruppi formati dagli $n$ elementi che differiscono per l’ordine in cui si presentano gli elementi distinti e la posizione che occupano gli elementi ripetuti:
$$P_{n}^{(h, k, \ldots)}=\frac{n !}{h ! \cdot k ! \ldots}$$
ESEMPIO Calcoliamo il numero dei modi in cui cinque sedie possono essere occupate
da tre persone. Dobbiamo calcolare il numero delle permutazioni di 5 elementi, con 3 distinti e 2 ripetuti (le due sedie vuote), quindi:
$P_{5}^{(2)}=\frac{5 !}{2 !}=5 \cdot 4 \cdot 3=60$
INDICE
- I raggruppamenti
- Le disposizioni semplici
- Le disposizioni con ripetizione
- Le permutazioni semplici
- Le permutazioni con ripetizione
- La funzione n!
- Le combinazioni semplici
- Le combinazioni con ripetizione
- I coefficienti binomiali