Le disposizioni semplici

DEFINIZIONE

Le disposizioni semplici di n elementi distinti di classe k (con k $\leq n$ ) sono tutti i gruppi di $k$ elementi scelti fra gli n, che differiscono per almeno un elemento o per l’ordine con cui gli elementi sono collocati:

\[D_{n, k}=n-(n-1) \cdot(n-2) \cdot(n-3) \cdot \ldots \cdot(n-k+1), \operatorname{con} n, k \in N \]

OSSERVAZIONE

Notiamo che ogni gruppo si distingue dagli altri:

• per la diversità di almeno un elemento,
• oppure per l’ordine degli elementi.

Chiamiamo i gruppi con le caratteristiche indicate con il termine di disposizioni semplici.

ESEMPI

Esempto

1. A un torneo di calcio regionale under 21 partecipano 15 squadre. Quante sono le possibili classifiche delle prime cinque squadre? L’insieme di partenza contiene come elementi le 15 squadre, perciò $n=15 ; 1$ raggruppamenti contengono 5 elementi, dunque $k=5$ Il numero delle possibili classifiche è :
   $[D_{1 s, s}=15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11=360360]$
2. Quanti numeri di 4 cifre, tutte diverse tra loro, si possono formare con le dieci cifre decimali? Se calcoliamo
   $[D_{10,4}=10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7=5040]$
   nel risultato sono compresi anche quei numeri che iniziano con la cifra 0 e che, in realtà, non sono numeri di quattro cifre, ma di tre. Dobbiamo determinare quanti sono e sottrarre il loro numero da quello appena calcolato. Ragioniamo così: prendiamo le nove cifre diverse dallo zero e calcoliamo tutte le disposizioni di classe 3 . Infatti, se a ognuno dei numeri che così si formano poniamo davanti lo zero, abbiamo tutti i numeri da eliminare. Poiché
   $[D_{9,3}=9 \cdot 8 \cdot 7=504]$
   i numeri con 4 cifre significative tutte diverse che si possono formare sono:
   $[D_{10,4}-D_{9,3}=5040-504=4536]$
   Possiamo giungere direttamente al risultato con il ametodo delle possibilità. Per il primo posto abbiamo 9 possibilità (le dieci cifre meno lo zero), per il secondo posto 9 possibilità (non utilizziamo la cifra collocata al primo posto, ma possiamo utilizzare ora la cifra zero), per il terzo posto 8 possibilità e infine per il quarto 7 possibilità. Quindi:
   $[9 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7=4536]$

INDICE

• I raggruppamenti
• Le disposizioni semplici
• Le disposizioni con ripetizione
• Le permutazioni semplici
• Le permutazioni con ripetizione
• La funzione n!
• Le combinazioni semplici
• Le combinazioni con ripetizione
• I coefficienti binomiali