Un ragazzo ha a disposizione due paia di pantaloni e quattro magliette. Ci domandiamo in quanti modi diversi può vestirsi. Fissato un paio di pantaloni, a questo puó accostare, una alla volta, ognuna delle quattro magliette, e quindi sono quattro possibilità. Ma a questo numero di possibilità dobbiamo aggiungere ancora le possibilità che si ottengono con il secondo paio di pantaloni e, di nuovo, ognuna delle quattro magliette. Quindi le possibilità sono in totale otto.
Indichiamo le due paia di pantaloni con $P_{1}$ e $P_{2}$, le quattro maglictie con $M_{1}, M_{2}, M_{3}$ $M_{4}$ e consideriamo gli insiemi $P=\left\{P_{1}, P_{2}\right\} \in M=\left\{M_{1}, M_{2}, M_{3}, M_{4}\right\}$ Elenchiamo tutte le possibili coppie. Esse non sono altro che il prodotto cartesiano fra l’insieme dei pantaloni $P$ e l’insieme delle magliette $M$ :
\[\begin{aligned}P \times M=\left\{\left(P_{1} ; M_{1}\right),\left(P_{1} ; M_{2}\right),\left(P_{1} ; M_{3}\right),\right.&\left(P_{1} ; M_{4}\right) \\ \left.\left(P_{2} ; M_{1}\right),\left(P_{2} ; M_{2}\right),\left(P_{2} ; M_{3}\right),\left(P_{2} ; M_{4}\right)\right\} \end{aligned} \]
Le 2 possibilità corrispondenti ai rami dei pantaloni indicano quante volte vengono ripetute le 4 possibilita corrispondenti ai rami delle magliette.
Quindi in totale abbiamo $2 \cdot 4=8$ gruppi.
ESEMPIO
Elenchiamo tutte le sigle di tre elementi che possiamo scrivere utilizzando le cifre 1 e 2 per il primo posto, le lettere $A, B, C$ per il secondo e le lettere greche $\alpha$ e $\beta$ per l’ultimo posto. Calcoliamo poi quante sono.
Disegniamo il diagramma ad albero.
Calcoliamo il numero delle sigle che possiamo scrivere:
- 2 possibilità per la prima posizione,
- 3 per la seconda,
- 2 per la terza.
Complessivamente abbiamo $2 \cdot 3 \cdot 2=12$ gruppi.
METODO
Per determinare quanti gruppi si possono formare assegnando il rimo posto a un elemento di un insieme $A$ con $n$ elementi, il secondo a uno li un insieme $B$ con $m$ elementi, il terzo a uno di un insieme $C$ con $k$ elementi, occorre calcolare il prodotto $n \cdot m \cdot k \cdot \ldots$
INDICE
- I raggruppamenti
- Le disposizioni semplici
- Le disposizioni con ripetizione
- Le permutazioni semplici
- Le permutazioni con ripetizione
- La funzione n!
- Le combinazioni semplici
- Le combinazioni con ripetizione
- I coefficienti binomiali