Abbiamo quattro palline colorate, ognuna di un colore diverso (bianco, nero, rosso, verde). Calcoliamo in quanti modi diversi possiamo metterle in fila.
L’insieme dei colori è:
$[A={b, n, r, v}]$
Costruiamo con diagrammi ad albero tutti i possibili raggruppamenti.
Se la prima pallina è bianca, si ottengono 6 raggruppamenti. Ma la prima pallina può essere bianca, rossa, nera o verde. Per cui si ottengono:
$6 \cdot 4=24$ raggruppamenti.
Notiamo che ogni gruppo contiene tutti gli elementi dell’insieme e differisce dagli altri solo per l’ordine.
In questo caso, stiamo considerando le disposizioni semplici di 4 elementi di classe 4.
I raggruppamenti che hanno queste caratteristiche sono dette permutazioni semplici.
Nel nostro esempio si hanno permutazioni di 4 elementi:
$[P_{4}=24]$
Nel caso generale, poniamo nella formula delle disposizioni semplici $k=n$
$[\begin{aligned} P_{0}=D_{-9}=n-(n-1) \cdot(n-2) \cdot(n-3) \cdot & \ldots(n-n+1)=\ &=n \cdot(n-1) \cdot(n-2) \cdot(n-3) \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1 \end{aligned}]$
Quindi per determinare quante sono le possibili permutazioni che possiamo effettuare con $n$ oggetti distinti, dobbiamo moltiplicare fra loro gli n numeri maturali da $n$ fino a 1. Il prodotto $n \cdot(n-1) \cdot(n-2) \cdot(n-3) \cdot \ldots-2 \cdot 1$ si indica con simbolo $n !$ e si legge fattoriale.
Nel nostro esempio le permutazioni delle quattro palline colorate sono:
$[P_{4}=4 !=4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1=24]$
DEFINIZIONE
Le permutazioni semplici di $n$ clementi distinti sono tutti i gruppI formatI dagli $n$ elementi, che differiscono per il loro ordine:
$[P_{n}=m !-n(n-1) \cdot(n-2) \cdot \ldots-3 \cdot 2 \cdot 1, \operatorname{con} n \geq 2]$
ESEMPIO
- Quanti mumeri di sei cifre distinte possiamo scrivere utilizzando menti dell insieme A={2,3,4,7,8,9 }?
$[P_{6}=6 !=6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1=720]$ - Calcoliamo il numero di anagrammi che si possono ottenere con
della parola CANTO:
$[P_{1}=51=5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1=120]$
INDICE
- I raggruppamenti
- Le disposizioni semplici
- Le disposizioni con ripetizione
- Le permutazioni semplici
- Le permutazioni con ripetizione
- La funzione n!
- Le combinazioni semplici
- Le combinazioni con ripetizione
- I coefficienti binomiali