Le coniche sono un insieme di curve perché si ottengono tagliando un cono con un piano. Le coniche di cui tratteremo sono la circonferenza, l’ellisse, la parabola e l’iperbole.
Definiamo ciascuna curva come luogo geometrico e deduciamo poi l’equazione algebrica che la rappresenta nel piano cartesiano.
DEFINIZIONE
Un luogo geometrico è l’insieme di tutti e soli i punti che godono di una proprietà, detta proprietà caratteristica del luogo.
Per studiare nel piano cartesiano un luogo geometrico si cerca un’equazione in due incognite $f(x ; y)=0$ le cui soluzioni sono le coordinate di tutti e soli i punti del luogo:
$P\left(x_{0} ; y_{0}\right)$ appartiene al luogo $\leftrightarrow f\left(x_{0} ; y_{0}\right)=0$
L’equazione $f(x ; y)=0$ è detta equazione del luogo.
Ad esempio una retta può essere vista come il luogo dei punti che godono della proprietà di allineamento. Infatti, l’equazione di questo luogo è un’equazione lineare.
CURIOSITA’
Le coniche di Apollonio: un punto di vista innovativo
Apollonio nacque in Panfilia, attorno al 262 a.C. e studiò ad Alessandria, centro degli studi matematici del mondo occidentale dell’epoca.
Colui scrisse la sua grande opera, per la quale è considerato uno dei più brillanti matematici del periodo ellenistico, tanto da essere chiamato ‘Grande Geometra’.
Apollonio racconta di aver scritto una prima versione delle Coniche, subito dopo aver ricevuto, ad Alessandria, la visita dello studioso Neucrate, che lo aveva convinto della necessità di pubblicare i suoi risultati.
L’argomento sulle coniche, già all’epoca di Apollonio, non era affatto nuovo. Le sezioni di un cono si studiavano già da circa un secolo e mezzo.
I matematici erano a conoscenza del fato che i tre tipi fondamentali di coniche (parabola, ellisse e iperbole) potevano essere ottenuti tagliando un cono con un piano. Però, prima di Apollonio, per ottenere ciascuna conica si considerava un diverso tipo di cono.
Apollonio dimostrò per la prima volta che da un unico cono era possibile ottenere tutti i tipi di coniche, variando l’inclinazione del piano di intersezione.
Eliminò inoltre la restrizione a considerare solo coni retti, dimostrando che le sezioni coniche si possono ottenere da un generico cono circolare, anche obliquo.
INDICE