LA CIRCONFERENZA COME LUOGO GEOMETRICO

La circonferenza fa parte di un insieme di curve chiamate coniche, perché si possono ottenere tagliando un cono con un piano.

DEFINIZIONE

Assegnato nel piano un punto C, detto centro, si chiama circonferenza la curva piana luogo geometrico dei punti equidistanti da C. La distanza fra ognuno dei punti della conica e il suo centro è il raggio di essa.

L’ EQUAZIONE

L’equazione generica di una circonferenza, con centro C e raggio r, è la seguente:

Può essere scritta in un modo più semplice:

Ma, l’equazione appena trascritta, rappresenta una circonferenza di centro C se e solo se:

Le coordinate del centro e del raggio di tale conica sono rispettivamente:

RETTA E CIRCONFERENZA

La posizione di una retta rispetto a una circonferenza dipende dalla distanza d della retta dal centro di quest’ultima.

  • Una retta può essere secante rispetto ad una circonferenza se d<r, cioè se ha due punti di intersezione con essa.
  • Una retta può essere tangente alla circonferenza se la interseca in un solo punto, cioè se d=r.
  • Una retta può essere esterna se non ha punti in comune con essa, cioè se d>r.

A livello pratico, per individuare ciò bisogna fare un sistema tra la circonferenza e la retta.

Applicando il metodo di sostituzione e studiando il segno del discriminante dell’equazione risolvente si hanno tre casi:

I) discriminante negativo: sistema non ha soluzioni reali , quindi la retta è esterna alla conica di riferimento.

II) discriminante nullo: il sistema ha due soluzioni reali e coincidenti, quindi la retta è tangente alla conica di riferimento.

III) discriminante positivo: il sistema ha due soluzioni reali e distinte, quindi la retta è secante alla conica di riferimento.

LE RETTE TANGENTI

Dati un punto e una circonferenza qualsiasi di equazione:

si possono presentare i tre seguenti casi:

  1. Il punto P è esterno a tale conica.
  2. Il punto P appartiene a tale conica.
  3. Il punto P è interno a tale conica.

Per determinare le equazioni delle eventuali rette tangenti passanti per P, nei primi due casi (esterno o appartenente alla circonferenza) è possibile seguire due metodi.

Primo metodo:

Si procede nel seguente modo:

  • Scrivere l’equazione del fascio di rette passanti per
  • Si scrive il sistema delle equazioni del fascio e della circonferenza:

  • Ricavare la y nell’ equazione del fascio di rette e si sostituisce nell’ equazione della circonferenza, ottenendo un’equazione di secondo grado nella variabile x i cui coefficienti sono funzioni del parametro m.
  • Stabilire la condizione di tangenza, ossia , in quanto, affinché la retta P sia tangente alla circonferenza, è necessario che l’equazione risolvente ammetta due soluzioni coincidenti.
  • Si risolve l’equazione di secondo grado rispetto a m, ottenuta ponendo .

Se il punto P è esterno alla circonferenza, si ha 

Discriminante positivo e le rette tangenti sono due.

Se il punto P appartiene alla circonferenza, si ha discriminante nullo e le retta tangente è una sola (o due coincidenti).

Secondo metodo: Distanza retta-centro uguale al raggio

  • Si determinano le coordinate del centro C e il raggio r .
  • Si scrive l’equazione del fascio di rette passanti per P in forma implicita:

  • Applicare la formula della distanza di un punto da una retta per esprimere la distanza dal centro C da una generica retta del fascio.
  • Porre tale distanza uguale al raggio e si risolve l’equazione in m.
  • Sostituire il valore o i valori trovati in m nell’ equazione del fascio di rette.

Se il punto P appartiene alla circonferenza, oltre ai due a questi due metodi si può applicare anche i seguenti:

Terzo metodo: Retta tangente in P come perpendicolare al raggio PC

  • Determinare le coordinate del centro C della circonferenza.
  • Trovare il coefficiente angolare m della retta passante per P e per C.
  • Si calcola il coefficiente angolare della rette perpendicolare a r.
  • Scrivere l’equazione della tangente: 

Quarto metodo: Formule di sdoppiamento

  • Si scrive l’equazione della circonferenza
  • Se il punto P ha coordinate , si eseguono le seguenti sostituzioni:

,

,

  • Si può dimostrare che l’equazione della retta tangente è:

I FASCI DI CIRCONFERENZE

Date due circonferenze e rispettivamente di equazioni:

si chiama fascio di circonferenze definito da e l’insieme della circonferenza e di tutte le circonferenze rappresentate dall’equazione:

Per k=-1 si ottiene l’equazione dell‘asse radicale:

I punti base sono i punti per i quali passano tutte le circonferenze del fascio.

L’asse centrale è la retta perpendicolare all’asse radicale sulla quale si trovano i centri delle circonferenze del fascio.

Per studiare un fascio di circonferenze occorre trovare: centro e raggio, le due generatrici, gli eventuali punti base, l’asse radicale e l’asse centrale, ed eventuali circonferenze degeneri.

OSSERVAZIONE

Possiamo individuare elementi fondamentali rappresentati in una circonferenza utili per lo svolgimento di esercizi.

Per ripasso, vengono schematizzate le varie formule relative alla circonferenza:

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