In questa sezione è proposta un’altra conica intersecando la superficie del cono con un piano ottenendo così la parabola.

La parabola come luogo geometrico

Assegnati nel piano un punto F e una retta d, si chiama parabola la curva piana luogo geometrico dei punti equidistanti da F e da d.

Il punto F e la retta d vengono detti, rispettivamente, fuoco e direttrice della conica in esame.

La retta passante per il fuoco e perpendicolare alla direttrice si chiama asse.

Il punto V in cui la parabola interseca il suo asse è detto vertice.

L’asse della parabola è anche asse di simmetria della curva; ovvero preso un punto di tale conica, esiste un altro suo punto che è simmetrico del primo dato rispetto all’asse.

L’equazione della parabola con asse coincidente con l’asse y e vertice nell’origine

L’equazione di una parabola che ha il vertice nell’origine degli assi e asse coincidente con l’asse y è del tipo (con ).

Il fuoco ha le seguenti coordinate:

la direttrice ha la seguente equazione:

l’asse ha la seguente equazione:

x = 0

mentre il vertice coincide con l’origine quindi:

V( 0;0 )

Il segno di a e la concavità

Nell’equazione della parabola , se a>0, si ha , quindi i punti della parabola si trovano nel semipiano dei punti con ordinata maggiore o uguale a 0.

Inoltre, se a>o, anche f>0. Il fuoco si trova, dunque, sul semiasse positivo delle y: la parabola quindi volge la concavità vero l’alto.

Se invece a<0, si ha e i punti della parabola giacciono nel semipiano dei punti con ordinata minore o uguale a 0; inoltre si ha f<0. Il fuoco si trova nel semiasse negativo delle y: la parabola volge la concavità verso il basso.

OSSERVAZIONE

Se viene dato il vertice è possibile determinare l’equazione della parabola tramite la seguente relazione:

Svolgendo i relativi calcoli sostituendo le coordinate del vertice si ottiene:

Questa rappresenta l’equazione con asse parallelo all’asse y.

Le coordinate del vertice sono le seguenti:

rappresenta l’ascissa del vertice

rappresenta l’ordinata del vertice, in funzione del discriminante relativo all’equazioni o disequazioni di secondo grado.

TEOREMA

A ogni parabola con asse parallelo all’asse y corrisponde un’equazione del tipo , con , e viceversa.

Le caratteristiche di una parabola di equazione

Abbiamo già visto che una parabola di equazione ha vertice di coordinate:

mentre le coordinate del fuoco sono le seguenti:

Per l’equazione della direttrice si ha:

La parabola con asse parallelo all’asse x

Bisogna scambiare la variabile x con la variabile y, ottenendo la seguente equazione:

L’equazione di una parabola con asse parallelo all’asse x è del tipo , dove a,b,c sono coefficienti reali e .

L’asse ha equazione .

Il vertice è il punto .

Il fuoco ha coordinate .

La direttrice ha la seguente equazione: .

SUGGERIMENTO

Per non ricordare troppe formule, basta sapere che tale conica con asse parallelo all’asse x e con asse parallelo all’asse y hanno le coordinate relative al fuoco e al vertice e direttrice invertite tra la x e la y.

Per quanto riguarda la concavità bisogna vedere il segno del parametro a.

Mettendo in relazione la parabola con l’asse parallelo all’asse y e con l’asse parallelo all’asse y, abbiamo il seguente schema riassuntivo:

La posizione di una retta rispetto a una parabola

Risolvendo il sistema formato dall’equazione di tale conica e dall’equazione della retta:

si ottiene l’equazione di secondo grado , ossia:

le cui soluzioni sono le ascisse dei punti d’intersezione della conica con la retta.

  • Se , la retta è secante la parabola in due punti.
  • Se , vi è tangenza tra parabola e retta in un solo punto.
  • Se , la retta è esterna alla parabola.

Le rette tangenti a una parabola

Le rette passanti per un punto P e tangenti a una parabola possono essere due, una o nessuna, a seconda della posizione di P rispetto alla parabola.

Se per un punto P si possono tracciare due rette tangenti, si dice che P è esterno alla conica; se la retta è una sola, P è sulla conica; se da P non è possibile tracciare rette tangenti, allora P si dice interno alla conica.

Per determinare le equazioni delle eventuali rette tangenti. si procede nel seguente modo:

  • Scrivere l’equazione del fascio di rette passanti per :
  • Scrivere il sistema delle equazioni del fascio di rette e della parabola:
  • Porre la condizione di tangenza . Infatti, se una retta è tangente deve avere due intersezioni coincidenti con la parabola.
  • Risolvere rispetto a m l’equazione ottenuta e sostituire nell’equazione del fascio gli eventuali valori determinati.

La formula di sdoppiamento

La formula di sdoppiamento relativa alla parabola si può utilizzare soltanto se P appartiene ad essa.

Il segmento parabolico

Se una retta è secante nei punti A e B, il segmento AB e l’arco di parabola AB delimitano una parte di piano detta segmento parabolico. Tracciando la retta parallela ad AB e tangente alla conica in esame, e considerando su di essa le proiezioni A’ e B’ di A e B.

Si può dimostrare che l’area del segmento parabolico è:

I fasci di parabole

Date due parabole e di equazioni scritte in forma implicita:

con a e a’ non entrambi nulli, si chiama fascio di parabole generato da e l’insieme di parabola e di tutte le parabole rappresentate dall’equazione:

con

e si dicono generatrici del fascio.

L’equazione del fascio può essere scritta anche nella forma:

e, se , si ha:

Se , l’equazione scritta rappresenta, al variare di k , l’equazione di infinite parabole appartenenti al fascio di generatrici e .

Per esempio, rappresenta, per , un fascio di parabole.

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