L’ELLISSE COME LUOGO GEOMETRICO

L’ellisse fa parte di un insieme di curve chiamate coniche, perché si possono ottenere tagliando un cono con un piano.

DEFINIZIONE

Assegnati nel piano due punti, e, detti fuochi, si chiama ellisse la curva piana luogo geometrico dei punti P tali che sia costante la somma delle distanze di P da e da :

L’EQUAZIONE

L’equazione generica di un’ellisse, il cui centro è posto nell’origine degli assi, è la seguente:

La circonferenza può essere considerata un caso particolare di ellisse con eccentricità nulla e=0.

L’INTERSEZIONE DELL’ELLISSE CON GLI ASSI CARTESIANI

Per determinare le intersezioni di tale conica con l’asse x, mettiamo a sistema l’equazione di tale conica e l’equazione dell’asse x, risolvendo cioè tale sistema:

Quindi i punti sono (-a;0) e (a;0) .

Analogamente, per determinare le intersezioni con l’asse y, risolviamo:

Quindi i punti sono (0;-b) e (0;b) .

I punti , e , si chiamano vertici dell’ellisse.

I segmenti e sono detti assi dell’ellisse.

LE COORDINATE DEI FUOCHI DI UN’EQUAZIONE NOTA

Data l’equazione di un’ellisse, è possibile determinare le coordinate dei fuochi. Sono le seguenti:

con i fuochi sull’asse x

con i fuochi sull’asse y

L’ECCENTRICITA’

Il rapporto fra la distanza focale e la lunghezza dell’asse maggiore di un’ellisse, è detto eccentricità ed è indicato con la lettera e.

Poiché c<a, si ha:

Se e=0 i fuochi coincidono con il centro.

LE POSIZIONI DI UNA RETTA RISPETTO A UN’ELLISSE

Per determinare la posizione di una retta rispetto a un’ellisse, mettiamo a sistema le due equazioni vedendo il segno del discriminante :

  • non ha soluzioni reali , quindi la retta è esterna alla conica di riferimento.
  • ha due soluzioni reali e coincidenti, quindi la retta è tangente alla conica di riferimento.
  • ha due soluzioni reali e distinte, quindi la retta è secante alla conica di riferimento.

LA FORMULA DI SDOPPIAMENTO

Se si deve determinare l’equazione della retta tangente a tale conica in un solo punto P(x’,y’), si può utilizzare la seguente formula di sdoppiamento:

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