L’iperbole è una conica ottenuta dall’intersezione fra il piano e la superficie del cono.

L’iperbole come luogo geometrico

Assegnati nel piano due punti e , detti fuochi, si chiama iperbole la curva piana luogo geometrico dei punti P che hanno costante la differenza delle distanze da e da :

Il punto medio del segmento si chiama centro dell’iperbole.

Viene indicata con 2c la distanza tra e , detta distanza focale.

Viene indicata con 2a la differenza costante tra le distanze di ciascun punti dell’iperbole da ognuno dei due fuochi.

L’equazione dell’iperbole con i fuochi appartenente all’asse x

Anche per l’iperbole, come per le altre coniche finora esaminate, l’equazione è diversa a seconda della posizione della curva rispetto al sistema di riferimento.

Se si considerano i fuochi sull’asse x o y e il centro come origine degli assi, si ottiene il tipo di equazione più semplice.

Esaminiamo il caso in cui la retta passante per i punti e è l’asse x.

e

Poniamo :

L’equazione canonica o normale dell’iperbole è un’equazione del seguente tipo.

L’intersezione dell’iperbole con gli assi cartesiani

Per determinare le intersezioni dell’iperbole con l’asse x, mettiamo a sistema le rispettive equazioni, ossia risolviamo:

Quindi e sono le intersezioni con l’asse x e si dicono vertici reali dell’iperbole. Il segmento si chiama asse trasverso. Ha lo stesso nome anche la retta che passa per e , ossia l’asse x. Il numero a è la misura della lunghezza del semiasse trasverso. Inoltre i fuochi, che si trovano sull’asse x, giacciono sull’asse trasverso.

Analogamente, per determinare le intersezioni con l’asse y, risolviamo il sistema:

La prima equazione è impossibile: l’iperbole non ha intersezione con l’asse y.

Le coordinate dei fuochi di un’iperbole di equazione nota

Data l’equazione di un’iperbole, è possibile determinare le coordinate dei fuochi. Poiché , otteniamo , , quindi i fuochi hanno coordinate:

e

L’eccentricità nell’iperbole

Ritroviamoil concetto di eccentricità anche nello studio dell’iperbole.

L’eccentricità è il rapporto fra la distanza focale e la lunghezza dell’asse traverso:

Poiché , osserviamo che .

L’iperbole con i fuochi sull’asse y

Esaminiamo ora il caso in cui la retta passante per i fuochi e , è l’asse y.

Indichiamo le coordinate dei fuochi con

e

In questo caso, diversamente dal precedente, indichiamo con 2b la differenza costante fra le distanze di ciascun punto dell’iperbole da ognuno dei due fuochi.

Se P è un generico punto dell’iperbole, dalla definizione data segue l’uguaglianza:

Per determinare l’equazione dell’iperbole possiamo ripetere gli stessi ragionamenti fatti per l’iperbole con i fuochi sull’asse x.

In questo caso, dopo aver posto , si ottiene l’equazione:

Questa è l’equazione canonica dell’iperbole con i fuochi sull’asse y.

L’asse y è l’asse trasverso e i vertici reali sono i punti e .

L’asse x è l’asse non trasverso e i punti e sono detti vertici non reali.

Le rette e sono gli asintoti dell’iperbole.

I fuochi dell’iperbole hanno coordinate e .

L’eccentricità vale .

Le posizioni di una retta rispetto a un’iperbole

Per stabilire la posizione di una retta di equazione , rispetto a un’iperbole , consideriamo il sistema formato dalle due equazioni e studiamo l’equazione risolvente.

  • Se l’equazione risolvente è di secondo grado, studiamo il segno del discriminante:

Se , il sistema ha due soluzioni reali; la retta è secante l’iperbole in due punti;

Se , il sistema ha due soluzioni reali e coincidenti; la retta è tangente all’iperbole in un punto.

Se , il sistema non ha soluzioni reali; la retta è esterna all’iperbole.

  • Se l’equazione risolvente è di primo grado, la retta è secante l’iperbole in un solo punto.

Le rette tangenti a un’iperbole

Per determinare le equazioni delle eventuali rette tangenti condotte da un punto alla generica iperbole di equazione , si procede in modo analogo a quanto fatto per la determinazione delle tangenti a una parabola e a un’ellisse.

  • Si scrive l’equazione del fascio di rette passanti per P,.
  • Scrivere il sistema formato dalle equazioni del fascio e dell’iperbole:
  • Si giunge all’equazione risolvente di secondo grado nella variabile x oppure nella variabile y.
  • Si pone la condizione di tangenza, ossia .
  • Risolvere l’equazione di secondo grado rispetto a m.

Se , le rette tangenti sono due e il punto è esterno all’iperbole.

Se , la ratta tangente è una sola e il punto appartiene all’iperbole.

Se , non esistono rette tangenti e il punto è interno all’iperbole.

La formula di sdoppiamento

Per determinare l’equazione della retta tangente all’iperbole in un suo punto , si può utilizzare la formula di sdoppiamento:

per l’iperbole

per l’iperbole

L’iperbole equilatera

  • L’iperbole equilatera riferita agli assi di simmetria

Se nell’equazione canonica, cioè riferita al centro e agli assi di simmetria, si ha a=b, l’iperbole si dice equilatera.

Consideriamo il caso in cui i fuochi siano sull’asse x.

L’equazione dell’iperbole è:

che può anche essere scritta nella forma:

Se i fuochi sono sull’asse y, l’equazione dell’iperbole equilatera è:

Essendo 2a=2b, il rettangolo che ha lati paralleli all’asse trasverso e a quello non trasverso diventa un quadrato. Le equazioni degli asintoti sono

y=x e y=-x

gli asintoti coincidono con le bisettrici dei quadranti e sono quindi perpendicolari tra di loro.

La semidistanza focali nell’iperbole equilatera diventa:

e l’eccentricità vale .

  • L’iperbole equilatera riferita agli asintoti

In un’iperbole equilatera, gli asintoti coincidono con le bisettrici dei quadranti, ovvero sono perpendicolari fra loro. Consideriamo quindi gli asintoti come assi, X e Y, di un nuovo sistema di riferimento per l’iperbole. Consideriamo l’iperbole nei due sistemi di riferimento x0y e X0Y. Sia P un punto dell’iperbole, esso ha coordinate (x;y) nel primo sistema e (X;Y) nel secondo.

L’equazione di un’iperbole equilatera riferita ai propri asintoti è la seguente:

  • La funzione omografica

Si considera un’iperbole equilatera che ha gli asintoti paralleli agli assi cartesiani, allora tale curva ha un’equazione del tipo:

con e .

Possiamo leggere quest’ultima relazione come funzione y=f(x) della variabile x: la funzione omografica.

Le equazioni degli asintoti sono:

e

Le coordinate del centro di simmetria sono:

©2019 SosMatematica.it

Log in with your credentials

or    

Forgot your details?

Create Account