Identità ed equazioni

IDENTITÀ

Un’identità è un’uguaglianza fra due espressioni algebriche, di cui almeno una letterale, verificata qualunque sia il valore attribuito alla lettera o alle lettere che vi compaiono.

ESEMPIO

Consideriamo la seguente identità:

8a=5a+3a

E’ un’identità perché è verificata qualunque sia il valore attribuito alla lettera a:

  • se a = -1 si ha: -8 = -5-3 e quindi: -8 = -8
  • se a = -3 si ha: -24 = -15-9 e quindi: -24 = -24

Ciascuna delle due espressioni che costituiscono l’uguaglianza viene detta membro dell’identità.

In particolare, l’espressione di sinistra è detta primo membro, quella di destra secondo membro.

Nell’esempio proposto 8a rappresenta il primo membro mentre 5a+3a rappresenta il secondo membro.

OSSERVAZIONE

Per stabilire se una relazione di uguaglianza rappresenta un’identità occorre eseguire per entrambe le espressioni i calcoli indicati, sommando poi i termini simili ed eventualmente semplificando le frazioni algebriche. A questo punto si confrontano i due membri dell’uguaglianza: si può affermare di avere un’identità se essi contengono gli stessi termini.

LE CONDIZIONI DI ESISTENZA DI UN’IDENTITÀ

Se, per alcuni valori attribuiti alle lettere, uno o entrambi i membri dell’identità non hanno significato, anche l’identità non ha significato.

E’ necessario quindi precisarne le condizioni di esistenza (C.E.).

ESEMPIO

Ad esempio, dobbiamo studiare le C.E. della seguente funzione:

Le condizioni di esistenza, si ottengono ponendo il denominatore diverso da zero.

Quindi, C.E: :

EQUAZIONE

Un’equazione è un’uguaglianza fra due espressioni algebriche, di cui almeno una letterale, verificata solo da particolari valori attribuiti alla lettera o alle lettere che vi compaiono.

ESEMPIO

3x+8=11

Questa uguaglianza è un’equazione ed è verificata per x = 1.

Le due espressioni a sinistra e a destra del segno di uguaglianza si chiamano membri dell’equazione; quella a sinistra è il primo membro, quella a destra il secondo membro.

Le lettere per le quali si cercano i valori che rendono vera l’uguaglianza sono dette incognite dell’equazione.

Ad esempio, nell’esempio proposto x è l’incognita e 3x+8 è il primo membro mentre 11 è il secondo membro.

LE SOLUZIONI DI UN’EQUAZIONE

I valori che rendono vera l’uguaglianza si chiamano soluzioni o radici dell’equazione. Si può anche dire che tali valori verificano (o soddisfano) l’equazione.

ESEMPIO

L’ equazione y-9 = 1 ha per soluzione 10, perché 10-9 = 1. Quindi, diciamo che la soluzione è y=10.

OSSERVAZIONE

Risolvere un’equazione significa determinare tutte le sue soluzioni, cioè tutti i valori che verificano l’uguaglianza. Tali valori costituiscono l’insieme delle soluzioni dell’equazione.

I DIVERSI TIPI DI EQUAZIONI

Di seguito, troverete uno schema riassuntivo che tratta le diverse tipologie di equazioni.

LA FORMA NORMALE DI UN’EQUAZIONE E IL SUO GRADO

Consideriamo il polinomio, ridotto in forma normale, ovvero nella forma in cui non compaiono monomi simili fra loro.

Se poniamo P=0, otteniamo un’equazione scritta in forma normale (o forma canonica):

Il grado dell’equazione è il grado del polinomio ridotto, ossia il massimo esponente con cui l’incognita compare nell’equazione in forma normale: l’equazione considerata sopra è di secondo grado.

ESEMPIO

Ad esempio, consideriamo la seguente equazione.

3x – 6 = 0

Questa è un’ equazione di primo grado.

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