Le equazioni equivalenti
Consideriamo le equazioni 4x – 2 = 10 e 4x = 12.
Entrambe hanno come unica soluzione x = 3. Diciamo che le due equazioni sono equivalenti.
DEFINIZIONE
Due equazioni contenenti la stessa incognita si dicono equivalenti se hanno lo stesso insieme di soluzioni.
ESEMPI
- Le equazioni x — 1 = 4 e 2x — 3 = — 1 non sono equivalenti, perché la soluzione della prima equazione è x = 5 e la soluzione della seconda è x = 1.
- Le equazioni 3x – 2 = 4 e
non sono equivalenti, pur avendo una soluzione in comune.
Infatti la prima equazione ha come unica soluzione x = 2, mentre la seconda ha due soluzioni, x=2 e x = – 2.
Per risolvere un’equazione cercheremo di trasformarla in equazioni equivalenti, via via più semplici, fino a giungere a un’equazione in cui sia immediato trovare l’insieme delle soluzioni.
Le regole di trasformazione di un’equazione in altre equazioni a essa equivalenti sono stabilite da due princìpi, chiamati princìpi di equivalenza.
Il primo principio di equivalenza
Data un’equazione, se si addiziona ai due membri uno stesso numero o una stessa espressione, si ottiene un’equazione equivalente.
ESEMPIO
Consideriamo l’equazione 2x = 6 che ha come soluzione x = 3 .Addizioniamo a entrambi i membri 5 e otteniamo 2x + 5 = 6 + 5, ossia
2x + 5 = 11. La soluzione di questa equazione è x = 3, quindi è equivalente a quella data.
OSSERVAZIONE
Quando si addiziona un’espressione contenente l’incognita, bisogna fare attenzione!
Per esempio, se addizioniamo a entrambi i membri dell’equazione precedente, 2x=6, la frazione 
, otteniamo:
La soluzione di quest’ultima equazione non può essere x=3, perché per tale valore dell’incognita la frazione perde significato. L’equazione ottenuta non è quindi equivalente a quella data.
In generale, il primo principio può essere applicato solo se le espressioni che si addizionano soddisfano le condizioni di esistenza dell’equazione.
Le applicazioni del primo principio
Dal primo principio derivano due regole pratiche utili nella risoluzione delle equazioni.
ESEMPIO
Risolviamo l’equazione:
7x -2 = 6x+ 1
Per eliminare il termine 4- 6x dal secondo membro, addizioniamo a entrambi i membri il termine – 6x:
7x – 2 – 6x = 6x +1 – 6x —> 7x – 2 -6x = +1
Svolgiamo i calcoli al primo membro e otteniamo l’equazione:
x – 2=1
Per eliminare -2 dal primo membro, addizioniamo ai due membri + 2:
x -2+2= 1+2
Otteniamo l’equazione: x = 3.
Poiché le equazioni
7x-2=6x+1 e x=3
sono equivalenti, il valore 3, soluzione immediata della seconda equazione è anche soluzione della prima.
Si può rendere più rapido il procedimento notando che, quando si elimina da un membro un termine, grazie al primo principio di equivalenza,
esso ricompare nell’ altro con il segno cambiato. Si può quindi formulare
la seguente regola.
Il trasporto
Data un’equazione, se ne ottiene una equivalente se si trasporta un
termine da un membro all’altro, cambiandolo di segno.
La cancellazione
Termini uguali presenti in entrambi i membri di un’equazione possono essere soppressi, ottenendo un’equazione equivalente.
Il secondo principio di equivalenza
Data un’equazione, si ottiene un’equazione equivalente se si moltiplicano o si dividono i due membri per uno stesso numero, o espressione, diverso da 0.
ESEMPIO
Ad esempio, consideriamo 
ha come soluzione x = 15, perché 
.
Moltiplichiamo i due membri per 3 e otteniamo l’equazione:
ossia 2x=30.
La soluzione di questa equazione è 15, quindi è equivalente a quella data.
OSSERVAZIONE
Non possiamo dividere i membri di un’equazione per 0 perché la divisione per 0 non ha significato. Potremmo invece moltiplicare entrambi i membri per 0, ma che cosa succede?
Prendiamo, per esempio, l’equazione 3x = 6, che ha come soluzione 2.
Moltiplichiamo per 0 i due membri:
Questa equazione ha come soluzione tutti i numeri reali. L’equazione d
tenuta non è quindi equivalente a quella data
Le applicazioni del secondo principio
Applicando il secondo principio, è possibile ricavare altre due regole utili.
La divisione per un fattore comune diverso da 0
Se tutti i termini di un’equazione hanno un fattore numerico comune (diverso da 0), si ottiene un’equazione equivalente dividendo tutti i termini per quel fattore.
ESEMPIO
Nell’equazione
3x+9=24-3
i termini 3x, 9, 24 e 3 sono tutti divisibili per 3; pertanto possiamo dividere ciascun termine per 3, ottenendo l’equazione x + 3 = 8 — 1, equivalente alla data.
Il cambiamento di segno
Cambiando segno a tutti i termini di un’equazione, si ottiene un’equazione equivalente.
ESEMPIO
Ad esempio, -5x+8=-23 allora 5x-8=23
OSSERVAZIONE
Il secondo principio è utile per eliminare, passando a un’equazione equivalente, i denominatori nei coefficienti di un’equazione.