[Risolto] MATE

A) Calcolare Area e perimetro del quadrilatero con
* vertici A(3, 2), B(- 5, 2), C(- 4, - 5), D(3, - 4)
* angoli {α, β, γ, δ} interni ad {A, B, C, D}
* di lati a = |AB|, b = |BC|, c = |CD|, d = |DA|
---------------
Il vertice A è allineato con B sulla y = 2 e con D sulla x = 3; perciò, con l'angolo α retto, una decomposizione conveniente è nei triangoli ABD rettangolo e BCD.
LUNGHEZZE
Lati
* a = |AB| = |(- 5, 2) - (3, 2)| = |(- 8, 0)| = √((- 8)^2 + 0^2) = 8
* b = |BC| = |(- 4, - 5) - (- 5, 2)| = |(1, - 7)| = √(1^2 + (- 7)^2) = 5*√2
* c = |CD| = |(3, - 4) - (- 4, - 5)| = |(7, 1)| = √(7^2 + 1^2) = 5*√2
* d = |DA| = |(3, 2) - (3, - 4)| = |(0, 6)| = √(0^2 + 6^2) = 6
Diagonali
* p = |AC| = |(- 4, - 5) - (3, 2)| = |(- 7, - 7)| = √((- 7)^2 + (- 7)^2) = 7*√2
* q = |BD| = |(3, - 4) - (- 5, 2)| = |(8, - 6)| = √(8^2 + (- 6)^2) = 10
Il triangolo BCD è isoscele con base BD, vertice C e altezza
* h = √(b^2 - (q/2)^2) = √((5*√2)^2 - (10/2)^2) = 5
Perimetro
* a + b + c + d = 8 + 5*√2 + 5*√2 + 6 = 2*(7 + 5*√2)
AREE
* S(ABD) = a*d/2 = 8*6/2 = 24 (semiprodotto dei cateti)
* S(BCD) = q*h/2 = 10*5/2 = 25 (semiprodotto di base e altezza)
* S(ABCD) = 24 + 25 = 49
---------------
Vedi il grafico e il paragrafo "Properties" al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=polygon%283%2C2%29%28-5%2C2%29%28-4%2C-5%29%283%2C-4%29
------------------------------
B) Determinare le coordinate di M, punto medio del segmento AC.
* M = (A + C)/2 = ((3, 2) + (- 4, - 5))/2 = (- 1/2, - 3/2)
------------------------------
C) Determinare il punto B', simmetrico di B rispetto a M.
* B' = 2*M - B = 2*(- 1/2, - 3/2) - (- 5, 2) = (4, - 5)