1) Calcolare il valor medio della funzione nell’intervallo:
y = 4x cos(−x/3) in [0, 2π]
2) Trovare le componenti dei vettori v di lunghezza 5 che formano un angolo di 60° con u =(3, −3).
3) Dato il sistema formato dalle rette di equazioni kx + 2y = k + 1; −x + ky = k − 3 dire:
a. per quali k le rette sono incidenti in un punto con x > 0;
b. per quali k le rette sono incidenti in un punto con y > 0.
Grazie a tutti coloro che risponderanno.
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Livello 1
Te lo posso svolgere ma a rate.
Per ora il primo e poi ci torno quando ho tempo
1)
ym = 1/(2 TT) S_[0, 2TT] 4x cos (x/3) dx essendo il coseno pari
ym = 4/(2TT) S_[0,2TT] x cos (x/3) dx =
= 2/TT * [ [ x * sin(x/3) /(1/3) ]_[0,2TT] - S_[0,2TT] sin(x/3)/(1/3) dx ] =
= 2/TT [ 3x sin (x/3)_(x = 2TT) + 3 S_[0, 2TT] - sin(x/3) dx ] =
= 2/TT [ 6 TT sin (2TT/3) + 3 : (1/3) * cos (x/3)_[0,2TT] ] =
= 2/TT [ 6TT* rad(3)/2 + 9 * ( cos (2TT/3) - 1 ) ] =
= 6 rad(3) + 18/TT * (-1/2 - 1) =
= 6 rad(3) - 27/TT
so che é esatto perché Symbolab lo conferma
2) Puoi impostarlo usando il fatto che
cos (ab^) = a*b/(|a|*|b|)
cos 60° = (x,y)*(3,-3)'/(5*3rad(2)) = 1/2
e che x^2 + y^2 = 25
3x - 3y = 15/2 rad(2)
x - y = 5/2 rad(2)
x^2 + y^2 = 25
Questo puoi risolverlo per sostituzione x = y + 5/2 rad(2)
(y + 5/2 rad(2))^2 + y^2 - 25 = 0
Ti lascio i calcoli, dovrebbe essere y = 5/4 (rad 2 +- rad(6) ) e x = 5/2 rad(2) + y
3) Scritto il sistema delle due equazioni nella forma di Cramer
[ k 2 ] [ k+1 ]
[ -1 k ] [k - 3]
x = det ( [ k+1 2; k-3 k ] )/ ( det [ k 2; - 1 k ]) = (k^2 + k - 2k + 6)/(k^2 + 2) =
= (k^2 - k + 6)/(k^2 + 2) che é positivo per ogni k in quanto il trinomio al numeratore
ha il discriminante negativo;
y = det ( [k k+1; -1 k-3] )/det [k 2;-1 k] = (k^2 - 3k + k + 1)/(k^2 + 2) =
= (k^2 - 2k + 1)/(k^2 + 2) = (k-1)^2/(k^2 + 2)
questo é positivo per ogni valore di k tranne 1.
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Livello 6
@eidosm ciao Eidos! Nel frattempo il primo ero riuscito a farlo da solo, mentre proprio non sapevo impostare il secondo e il terzo. Sono tante domande per il semplice fatto che sto preparando un esame di Calcolo e Statistica, quindi sono un po' in crisi.
2) Si confondono le componenti dei vettori incoccati nell'origine con le coordinate della loro punta. Così
* u = (3, − 3) ≡ U(3, − 3)
Analogamente i quattro punti V, punte dei vettori v richiesti, giacciono sulla circonferenza
* Γ ≡ x^2 + y^2 = 25
alle intersezioni delle due rette a 60° da u, che è sulla diagonale dei quadranti pari cioè ha anomalia θ = - 45°. Quindi le due rette hanno inclinazioni di - 105° e di + 15° e sono
* y = tg(- 105°)*x = (2 + √3)*x
* y = tg(+ 15°)*x = (2 - √3)*x
Vedi il grafico e il paragrafo "Solutions" al link
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5Bx%5E2%2By%5E2%3D25%2Cx%5E2-4*x*y%2By%5E2%3D0%5D
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3) Il sistema ha una soluzione formale su cui ragionare
* (k*x + 2*y = k + 1) & (- x + k*y = k - 3) ≡
≡ (x = (k^2 - k + 6)/(k^2 + 2)) & (y = (k - 1)^2/(k^2 + 2))
questa soluzione è definita per ogni k.
a) x > 0 ≡ (k^2 - k + 6)/(k^2 + 2) > 0 ≡ per ogni valore di k
b) y > 0 ≡ (k - 1)^2/(k^2 + 2) > 0 ≡ k != 1
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Genius I
