Si studi al variare dei parametri reali $k$ ed $h$ la compatibilità del sistema:
$\left\{\begin{array}{c}k^{2} x-k y+k z=0 \\ k x-y+z=2 h \quad \text { e se ne dia una interpretazione geometrica in } \mathcal{R}^{3} \\ x-y+z=2\end{array}\right.$
Per $k=2$ e $h=0$ si espliciti, se esiste, la soluzione (o le soluzioni) con uno dei metodi conosciuti (Cramer, Gauss).
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@02 mi potrebbe aiutare a capire come scrivere le soluzione e l'interpretazione geometrica, perché riesco a fare tutti i calcoli però non so come unire i risultati e trovare la soluzione.
Poi io ho trovato solo k=1 e non k=0, praticamente ho calcolato il determinate della matrice A che usciva zero, quindi successivamente ho calcolato i minori di ordine 2 della matrice e sono riuscito a trovare appunto k=1 ma k=0 no. Dopo ho sostituito k nella matrice completa e ho orlato il parametro h per trovare appunto i valori h=0 e h=1
Ciao, provo a spiegarti brevemente quello che ho fatto:
Nel momento in cui ho assodato che il rango della matrice incompleta associata al sistema lineare è sicuramente minore di 3 ho provato a trovare un minore 2×2 che avesse determinante diverso da 0 e ho trovato che il rango della matrice incompleta è 2 se e solo se k≠1.
Nel momento in cui ho appurato questa cosa, devo capire qual è il rango della matrice completa associata al sistema e quindi comincio a orlare il minore non nullo (di prima) aggiungendo la prima riga e la quarta colonna e calcolo il determinante. A questo punto, trovo che il determinante di questo minore 3×3 è diverso da 0 se e solo se k≠0, h≠0 e k≠1. Il fatto che k sia diverso da 1 mi importa poco dato che io sono partito dal minore non nullo 2×2 che è non nullo solo se k≠1 ma ottengo anche che la matrice completa ha rango 2 anche se h e k sono uguali a 0.
Per il teorema di rouchè capelli quindi posso dire che se k≠1,k≠0 e h≠0 il rango della matrice incompleta non è uguale a quello della matrice completa e per questo il sistema è incompatibile.
Le altre considerazioni che hai fatto sono giuste io per risparmiare tempo ho evitato di sostituire 1 alla matrice per trovare h=0 e h=1 ma l'ho dato per scontato e l'ho scritto nelle considerazioni finali... ovviamente quello che hai fatto è corretto.
Se hai bisogno ancora di delucidazioni, sono a tua disposizione
@02 Grazie mille per la spiegazione, volevo sapere un'ultima cosa come faccio con l'interpretazione geometrica?
Ciao, come premessa è necessario considerare che se hai delle equazioni in tre variabili si tratta sicuramente di un piano nello spazio, così come se hai delle equazioni in due variabili si tratta di rette nel piano... ti fornisco la teoria sull'interpretazione geometrica per sistemi lineari di 2 e 3 equazioni a 3 variabili, ovviamente, questa è una guida, l'ideale sarebbe riuscire a ricavare l'interpretazione geometrica studiando i vari ranghi delle matrici, dato che memorizzare spesso è complesso
