iperbole

Equazione degli asintoti di un generico iperbole di centro (xC;yC) 

y-yC = ± (b/a) *(x-xC)

 

Essendo i due asintoti rette passanti per l'origine degli assi cartesiani il centro della conica è C(0;0)

Inoltre: b/a=1/2  => a²=4b²

 

L'appartenenza dei punti A e B alla conica permette di dire che A è un punto di un iperbole con asse traverso e fuochi sull'asse x ;B è un punto di un iperbole con asse traverso e fuochi sull'asse y

A€ conica => a²=5, b²=5/4

x²/5 - y²/(5/4) = 1

F12= [±radice (a²+b²) ; 0]

 

B€conica =>  a²=12, b²=3

x²/12 - y²/3 = - 1

F12= [0; ±radice (a²+b²)] 

 

Non credo tu abbia problemi a calcolare vertici e fuochi.

 

Con riferimento alla figura su allegata, abbiamo 2 iperboli:

Quella che passa per A(3,1) ed ha equazione del tipo:

x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1

con asse traverso  e fuochi sull'asse delle x;

quella che passa per il punto B(2,2) ed ha equazione del tipo:

x^2/a^2 - y^2/b^2 = -1

con asse traverso e fuochi sull'asse delle y.

Risolviamo quindi la prima ponendo:

{passaggio per A

{(b/a)^2 =(1/2)^2

quindi scriviamo il sistema (α = a^2; β = b^2) :

{3^2/α - 1^2/β = 1

{β/α = 1/4

risolvendo si ottieni:

[α = 5 ∧ β = 5/4]

quindi l'iperbole: x^2/5 - 4·y^2/5 = 1

Nello stesso modo:

{2^2/α - 2^2/β = -1

{β/α = 1/4

fornisce: [α = 12 ∧ β = 3]

quindi l'iperbole: x^2/12 - y^2/3 = -1

per la prima:

per la seconda: