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[Risolto] UN’EQUAZIONE IRRAZIONALE

  

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$5-\frac{1}{3}\sqrt{8-x}=\sqrt{3x+19}$

La soluzione è $-1$

L’equazione in teoria la so risolvere, però vorrei  sapere se c’è un modo per farlo senza alla fine fare la verifica delle soluzioni.

Ho provato a scrivere le condizioni di esistenza dei radicali, ma sembra non basti, no so come altro fare.

Grazie in anticipo!

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C'è una "condizione di positività" che non è soddisfatta da quella frazione.

 

Svolgo solo i passaggi essenziali a mostrare questo.

 

5 - 1/3 sqrt ( 8 - x )  = sqrt ( 3x + 19 )

15 - sqrt( 8 - x ) = 3 sqrt ( 3x + 19 )

ha le ben note condizioni di esistenza     8 - x >= 0  e 3x + 19 >= 0

 

che si compendiano in -19/3 <= x <= 8, come sicuramente hai già trovato

Riscrivi

3 sqrt (3x + 19) + sqrt ( 8 - x ) = 15

che non richiede osservazioni aggiuntive perchè 15 è positivo.

 

Passi ai quadrati e riduci :

 

9 ( 3x + 19 ) + 8 - x + 6 sqrt [ (3x + 19)( 8 - x) ] = 225

27x + 171 + 8 - x + 6 sqrt ( 24x - 3x^2 + 152 - 19 x ) = 225

26 x + 179 + 6 sqrt ( - 3x^2 + 5x + 152 ) = 225

6 ( - 3x^2 + 5x + 152 ) = 46 - 26 x

 

ed ecco il punto nodale : per la convenzione sui radicali, per avere questa uguaglianza

deve essere  46 - 26 x >= 0  =>  26 x <= 46 =>    x <= 23/13

 

che combinata per intersezione con le condizioni già trovate fornisce

 

- 19/3 <= x <= 23/13.

 

Grazie mille di nuovo @eidosm, ora ho capito




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Cosa intendi dire con "fare la verifica delle soluzioni"? 

la soluzione che hai trovato (non so che via hai preso, ma immagino tu abbia elevato al quadrato 2 volte isolando le redici quadrate da una parte dell'uguale) è giusta e rientra nei campi di esistenza dei radicali. quindi è accettabile. Questo lo devi sempre fare, perchè se trovi una soluzione che non fa parte del campo di esistenza, essa va esclusa, non è una soluzione.

Il fatto è che elevando al quadrato l'espressione cambia e in genere il campo di esistenza tende ad "estendersi" in maniera fittizia. Quindi la verifica in questo senso si rende sempre necessaria.

Spero di avere risposto, fammi sapere.  

Nel senso che sul mio libro c’è scritto che una volta risolta un equazione di questo tipo si devono verificare le soluzioni oppure si fa un sistema all’inizio in cui si mettono le condizioni di esistenza dei radicali e l’equazione (con i membri elevati al quadrato). Ho provato a scrivere le condizioni, ma sembra che non bastino.

 

Arrivo alle soluzioni: $-1$ e $\frac{839}{196}$. Facendo la verifica la prima va bene ma la seconda no. Dato che fare la verifica con quella frazione non è semplice, mi chiedevo se ci fosse un altro modo per capire quali soluzioni fossero accettabili.



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