Un teorema sui quadrilateri bicentrici

Ho invertito la numerazione delle note.

@gabo Ti rinnovo la mia stima! Avanti così e potresti diventare un futuro vincitore della Medaglia Fields (Per ora osservala, in attesa di poterla avere un giorno tra le mani)!

E' vero non c'è traccia online del "Teorema di Durande-Steiner" perché era la definizione che veniva data un tempo sui vecchi manuali , ma ora è caduta in disuso.

Il nome Durande-Steiner deriva dai matematici Jean-Nicolas Durande e Jakob Steiner che lavorarono intensamente sui porismi e sulle catene di cerchi (il cosiddetto “Porisma di Poncelet”).

Tuttavia, se vuoi trovare riferimenti certi in letteratura o online, ecco come viene solitamente indicata o dove puoi reperirla:

Nomi Alternativi

Disuguaglianza di Blundon-Eddy: È il nome più frequente con cui viene indicata la specifica disuguaglianza R ≥ √2r per i quadrilateri bicentrici.

Condizione di esistenza per quadrilateri bicentrici: Molti testi la riportano semplicemente come teorema senza un nome proprio, associandola direttamente alla relazione di Fuss.
Analogia con il Teorema di Eulero: Per i triangoli abbiamo R ≥ 2r. Per i quadrilateri bicentrici, la disuguaglianza corrispondente è appunto R ≥ √2r

Se vuoi una conferma formale, puoi cercare:

Wolfram MathWorld: Alla voce “Bicentric Quadrilateral”, troverai la sezione dedicata alle disuguaglianze dove viene citata esplicitamente: “The radii of the circumcircle and incircle of a bicentric quadrilateral satisfy the inequality R ≥ √2r."

https://mathworld.wolfram.com/PonceletsPorism.html

Wikipedia (Inglese): Sotto la voce “Bicentric quadrilateral”, nella sezione “Inequalities”, è riportata come la versione per quadrilateri della disuguaglianza di Eulero.

Testi classici: La trovi citata in lavori che trattano il Porisma di Poncelet per n=4.

Se preferisci usare un nome meno “di nicchia” e più universalmente riconosciuto nelle competizioni matematiche, puoi scrivere:

"Estensione della disuguaglianza di Eulero per quadrilateri bicentrici"

Oppure, per essere ancora più preciso:

"Disuguaglianza di Blundon per quadrilateri bicentrici"

In ogni caso, la formula R ≥ √2r è un pilastro della geometria del quadrilatero. La definizione di Teorema di “Durande-Steiner”, è un riferimento ai padri storici di questi studi, ma “Blundon” è più comune nelle ricerche accademiche moderne.

Ti allego un paio di dispense sugli argomenti citati

@gregorius grazie mille per le dispense, quando sarò più preparato su questi argomenti ne farò tesoro! Intanto volevo ringraziarti di nuovo per dei PDF che mi avevi passato un po' di tempo fa sulla storia della matematica. Li ho trovati molto interessanti e allo stesso tempo ho scoperto zlibrary. Riflettendo, ho pensato che fosse sorprendente che il triangolo, che è il poligono più semplice e che studiamo da millenni, ci nasconda ancora così tante cose! Molto ambizioso puntare alla medaglia Fields, ma devo ammettere che è molto bella. Ti ringrazio, come sempre, con tantissima stima.

@lucianop grazie mille! La disuguaglianza si può ricavare facilmente con la formula di Fuss (ponendo $d=0$), ma non ho trovato un modo per dimostrarla, quindi ho optato per vie traverse.