Un escursionista distratto

Determino la traiettoria del binocolo che parte con una velocità di modulo 7,5 m/s ed un angolo di 43,5 gradi rispetto all'orizzontale. La traiettoria della cabina risulta infatti // al terreno.  Il terreno forma un angolo con l'orizzontale di:

 

arctan (0,95) = 43,53°

 

Moto parabolico:

1) rettilineo uniforme lungo l'asse x 

x= v0*cos(43,53)*t

 

2) rettilineo uniformemente accelerato lungo l'asse y 

y= 30 + v0*sin(43,53)*t - (1/2)*g*t²

 

Eliminando il tempo si determina l'equazione della traiettoria:

L'intersezione della traiettoria parabolica con la retta che descrive la pendenza del terreno permette di determinare il punto d'impatto con il terreno e di calcolare quindi la differenza di quota cercata. 

Quindi: DH= 12,77 m

 

 

La pendenza per una cabinovia non è il 5%. 95% vuol dire  una pendenza vicina ai 45°.

tan45° = 1 = 100%.

La pendenza del 100 % non vuol dire che siamo su una parete verticale. Siamo a 45°.

pendenza = 0,95;

arctan(0,95) = 43,53°;

Il binocolo continua  ad avere la velocità della cabinovia:

vx= 7,5 * cos43,53° = 5,44 m/s (orizzontale);

voy = 7,5 * sen(43,53°) = 5,17 m/s; verso l'alto.

v del binocolo: cade verso il basso, ma parte con velocità voy verso l'alto pari a 5,17 m/s;

vy = - 9,8 * t + 5,17;

1/2 g t^2 + voy * t + ho = 0;

ho = 30 m.

1/2 * (-9,8) * t^2 + 5,17 * t + 30 = 0;

4,9 t^2 - 5,17 * t - 30 = 0

t = [+ 5,17 +- radice(5,17^2 + 4 * 30 * 4,9)] / 9,8;

t = [5,17 +- 24,8]/9,8 ; prendiamo la soluzione positiva.

t = 29,96 / 9,8 = 3,06 s; tempo di caduta.

Spostamento orizzontale:

x = vx * t = 5,44 * 3,06 = 16,6 m;

Deltah / 16,6 = tan43,53°;

Deltah = 16,6 * 0,95 = 15,8 m (circa 16 m, dislivello verticale).

Ciao @giammy

 

 

 

 

 

 

Un escursionista che viaggia su una cabinovia osserva il panorama con il binocolo. In un attimo di distrazione, mentre sporge la testa dal finestrino aperto, fa cadere il binocolo.
Il finestrino aperto si trova a un'altezza misurata lungo la verticale, di 30m dal suolo e per un lungo tratto il cavo della cabinovia è perfettamente parallelo al profilo del terreno, che sale con una pendenza del 95% 

Sapendo che la velocità della cabinovia è V = 7,5m/s determina il dislivello verticale tra il punto in cui atterra il binocolo e il punto in cui cadrebbe se la cabinovia fosse ferma.

Risposta: [16m]

angolo di salita = arctan 0,95 = 43,53° (pendenza = tangente dell'angolo)

tempo di caduta t = √2h/g = √60/9,806 = 2,474 sec 

nel periodo di tempo t la cabina è salita di Δh = V*t*sen 43,53° 

Δh = 7,5*2,474*0,689 = 12,8 m 

 

 

 

Mi concentro sulla domanda finale:

"Determina il dislivello verticale tra il punto in cui atterra il binocolo e il punto in cui cadrebbe se la cabinovia fosse ferma".

La situazione del problema è quindi equivalente a determinare il punto di impatto del binocolo se, a partire da una posizione pari a (0 m,30 m) in un sistema di assi cartesiano (x,y) fisso nell'istante iniziale, si lanciasse il binocolo con velocità iniziale v=7.5 m/s avente componenti [η, μ], tali per cui:

{μ/η = 95/100

{η^2 + μ^2 = 7.5^2

Risolvendo tale sistema: 

{η^2 + μ^2 = 225/4

{μ/η = 19/20

si ottiene: ----> η = 150·√761/761 ∧ μ = 285·√761/1522 

(equivalenti a dire: η = 5.437 m/s ∧ μ = 5.166 m/s)

Per trovare quindi tale posizione finale dobbiamo mettere a sistema:

{la traiettoria del binocolo

{il profilo del terreno

Calcolo traiettoria del binocolo

{y = 30 + μ·t - 1/2·g·t^2

{x = η·t

Quindi:

x = 150·√761/761·t-----> t = √761·x/150

Quindi dai risultati precedenti con g=9.806 m/s^2 abbiamo:

y = 30 + 285·√761/1522·(√761·x/150) - 1/2·9.806·(√761·x/150)^2

y = - 3731183·x^2/22500000 + 19·x/20 + 30

Quindi posizione finale

{y = - 3731183·x^2/22500000 + 19·x/20 + 30

{y = 95/100·x

Risolvendo tale sistema si ottiene: x = 13.45 m ∧ y = 12.78 m circa

Il dislivello richiesto è quindi: 12.78 m