Notifiche
Cancella tutti

[Risolto] Trovare un malevolo punto P su un arco OA

  

0

Buona domenica a tutti ragazzi, il problema è questo qui:                                                              

Scrivi l’equazione della circonferenza passante per l’origine del sistema di riferimento, che ha il
centro sulla retta y-x+5=0 e tangente in O(0;0) ad una retta parallela a r:3x-2y+1=0. Indica con A e B
i punti d’intersezione , distinti da O, della circonferenza rispettivamente con l’asse x e l’asse y e
determina sull’arco OA che non contiene B un punto P tale che sia 15 l’area del quadrilatero OPAB.

Come retta parallela ad r e passante per O(0,0) ho trovato s:y=3/2x e, sfruttando il passaggio di Γ per O, la tangenza con s e l'appartenenza del suo centro a r ho trovato che Γ: x^2+y^2-6x+4y=0

I due punti invece, dato che devono essere diversi da O, sono A(6,0) e B(0,-4)

Non riesco invece a trovare le coordinate del punto P; il disegno è questo: https://www.geogebra.org/classic/kvxhxgm2

Grazie mille a chiunque mi dia una mano 😀 

Autore

gli accapo di fine riga già li mette il browser A MODO SUO, se ci metti anche i tuoi a modo tuo ne risulta un paciugo illeggibile!

2 Risposte



1

I MALEVOLI VANNO SEMPRE IN COPPIA (v. il Gatto e la Volpe)
P(1, 1) oppure P(5, 1)
------------------------------
La retta
* r ≡ 3*x - 2*y + 1 = 0 ≡ y = (3*x + 1)/2
ha pendenza m = 3/2, quindi la tangente richiesta è
* t ≡ y = (3/2)*x
la retta diametrale per l'origine è
* d ≡ y = - (2/3)*x
e il centro è l'intersezione di questa con la retta data
* (y - x + 5 = 0) & (y = - (2/3)*x) ≡ C(3, - 2)
da cui
* Γ ≡ (x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 3^2 + (- 2)^2 = 13 ≡
≡ x^2 + y^2 - 6*x + 4*y = 0
* A(6, 0)
* B(0, - 4)
------------------------------
Ricerca del punto P ...
"l'arco OA che non contiene B" è quello nel primo quadrante, quindi
* P(k, √(13 - (k - 3)^2) - 2)
NOTE
* 0 < k < 6
* 0 < yP < √13 - 2 ~= 1.6
* ∫ [k = 0, 6] (√(13 - (k - 3)^2) - 2)*dk =
= 13*arcsin(3/√13) - 6 ~= 6.7763
------------------------------
... tale che l'area del quadrilatero OPAB sia 15.
Il quadrilatero OPAB ha la triangolazione
* OPAB = OAB + OAP
con la comune base OA (|OA| = 6) e per altezze i moduli delle ordinate di B (|yB| = 4) e di P (|yP| = √(13 - (k - 3)^2) - 2), quindi
* S(OPAB) = S(OAB) + S(OPA) =
= 6*4/2 + 6*(√(13 - (k - 3)^2) - 2)/2 = 15 ≡
≡ 12 + 3*√(13 - (k - 3)^2) - 3*2 = 15 ≡
≡ √(13 - (k - 3)^2) = 3
questa, posta a sistema con la condizione su k, dà
* (√(13 - (k - 3)^2) = 3) & (0 < k < 6) ≡
≡ (k = 1) oppure (k = 5)
da cui
* P(1, 1)
* P(5, 1)



0

Puoi fare 15-( areaOBA) ed ottieni l'area del triangolo OAP. Risolvi poi l'equazione ottenuta della circonferenza. Otterrai 2 semicirconferenze che sono FUNZIONI. Scegli la semicirconferenza superiore. Tale semicirconferenza è esplicitata rispetto a y e porta tra x=0 ed x=6 valori positivi.  Devi prendere quello che produce il valore di superficie pari a   OAP trovato in precedenza. Ciao. 

P.S.

Non mi piace lasciare le cose a metà!

1/2·4·6 = 12 area OBA----->15 - 12 = 3  area OAP

x^2 + y^2 - 6·x + 4·y = 0 risolvo rispetto a y:

y = - √(- x^2 + 6·x + 4) - 2  (la scarto : semicirconferenza inferiore

y = √(- x^2 + 6·x + 4) - 2 la considero fra 0<x<6

Pongo:

1/2·6·y = 3------> y = 1

Risolvo un'equazione irrazionale:1 = √(- x^2 + 6·x + 4) - 2

√(- x^2 + 6·x + 4) = 3   (elevo al quadrato)

- x^2 + 6·x + 4 = 9

- x^2 + 6·x - 5 = 0

x^2 - 6·x + 5 = 0

(x - 1)·(x - 5) = 0

x = 5 ∨ x = 1

Punti sull'arco (malevoli!)

y = √(- 5^2 + 6·5 + 4) - 2----->  y = 1     P(5,1)

Analogamente P'(1,1).

Vedi sotto:

 

 



Risposta




SOS Matematica

4.6
SCARICA