Risolvi l'equazione f^-1(x)=f(8) con f(x)=√(x+1).
Secondo i calcoli che ho svolto la funzione inversa dovrebbe essere y=x^2-1 perciò, eguagliando le due, ho ottenuto x^2-1=3 quindi x^2=+-√4. Il risultato dovrebbe invece essere x=2. Dove ho sbagliato?
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Livello 1
Ciao. Sbagli perché la funzione inversa di y= x^2-1 che in sostanza si otterrebbe risolvendo in x tale equazione e poi ( successivamente) facendo le trasformazioni x—>y e y—>x non produce una sola funzione ma due:
x^2=y+1——->x=- sqrt(y+1) ed anche x= + sqrt(y+1).
Ciò significa che per poter invertire la funzione non devi considerare valori negativi della x. Quindi x=2 è l’unico da prendere in considerazione. D’altra parte le funzioni una inversa dell’altra devono risultare simmetriche rispetto alla bisettrice del 1 e 3 quadrante, cosa che non risulta prendendo al parabola e la funzione irrazionale se non scartando valori negativi di x della parabola stessa. Ciao
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Genius II
NON HAI SBAGLIATO: hai solo trascurato le condizioni restrittive implicite.
Le scrivo io esplicitamente.
Se
* (f(x) = y = √(x + 1)) & (x >= - 1) & (y >= 0)
allora
* f(8) = √(8 + 1) = 3 > 0
* (inv[f] = y = x^2 - 1) & (x >= - 1) & (y >= 0)
quindi
* inv[f](x) = f(8) ≡
≡ (x^2 - 1 = 3) & (x >= - 1) & (y >= 0) ≡
≡ (x = ± √4) & (x >= - 1) & (irrilevante) ≡
≡ (x = + 2) & (Vero) ≡
≡ x = 2
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Genius I
