Data una semicirconferenza di diametro $\overline{A B}=2 r$ e centro $O$, considera la corda $A C$ tale che $C \widehat{A} B=\arcsin \frac{3}{5}$ e la corda $A D$ tale che $D \widehat{A} C \cong C \widehat{A} B$. Determina l'area del quadrilatero $A B C D$.
1
punto
Livello 0
Ho svolto l'esercizio: dacci un'occhiata.
Il disegno allegato si riferisce ad r=1
AC=2·r·COS(ASIN(3/5)) =2·r·COS(ACOS(4/5)) = 8·r/5
BC=√((2·r)^2 - (8/5·r)^2) = 6·r/5
Area triangolo rettangolo ABC=1/2·(8·r/5)·(6·r/5) = 24·r^2/25
CD=BC per costruzione in quanto gli angoli acuti dati nel problema sono congruenti e quindi sono sottesi a stessi archi(e quindi a stesse corde)
Passiamo ora al triangolo ACD
ΑD = x
Teorema di Carnot:
x^2 + (8·r/5)^2 - 2·x·(8·r/5)·(4/5) = (6·r/5)^2
x^2 - 64·r·x/25 + 64·r^2/25 - 36/25·r^2 = 0
x^2 - 64·r·x/25 + 28·r^2/25 = 0
Risolvo ed ottengo x = 14·r/25 ∨ x = 2·r
per cui vale la soluzione in grassetto
area del triangolo ACD=Α = 1/2·(8·r/5)·(14·r/25)·(3/5)
A(ACD) = 168·r^2/625
168·r^2/625 + 24/25·r^2 = 768·r^2/625
91927
punti
Genius II
