in un trapezio ABCD, rettangolo in A e in D la diagonale AC è in perpendicolare al lato obliquo BC ed è AB = a ; posto l'angolo CAB = x , determina il valore di x in modo che sia : CD+DA = 1+RAD3 /4 AB . Successivamente , per tale valore di x, calcola il perimetro e l'area del trapezio.
10
punti
Livello 0
d = a·COS(x)
b = (a·COS(x))·COS(x)---> b = a·COS(x)^2
h = (a·COS(x))·SIN(x)---> h = a·SIN(x)·COS(x)
Deve essere:
a·COS(x)^2 + a·SIN(x)·COS(x) = (1 + √3)/4·a
COS(x)^2 + SIN(x)·COS(x) = (1 + √3)/4
pongo:
Υ = SIN(x)
Χ = COS(x)
Risolvo sistema:
{Χ^2 + Υ·Χ = (1 + √3)/4
{Υ^2 + Χ^2 = 1
ed ottengo 4 soluzioni di cui una sola è accettabile:
Υ = √3/2 ∧ Χ = 1/2
{SIN(x) = √3/2
{COS(x) = 1/2
da cui l'angolo cercato: [x = pi/3]
Lato obliquo: L = a·SIN(x)
perimetro in generale:
a + L + b + h = a + a·SIN(x) + a·COS(x)^2 + a·SIN(x)·COS(x)
per x = pi/3:
perimetro=
a + a·SIN(pi/3) + a·COS(pi/3)^2 + a·SIN(pi/3)·COS(pi/3)
perimetro= a·(3·√3/4 + 5/4)
area= Α = 1/2·(a + b)·h=
Α = 1/2·(a + a·COS(pi/3)^2)·a·SIN(pi/3)·COS(pi/3)
Α = 5·√3·a^2/32
115468
punti
Genius III
