Trigonometria

Question

II träangolo isoscele A B C ha i lati obliqui  overline {A B}= overline {A C}=6$ e Pangolo al vertice B  widehat {A C}=2 x.a. Determina it rapporto f(x)= frac {r_t}{r_f} fra il raggio r_i della circonferenza inscritta e quello r_c della circonferenza circoscritta; dimostra che può essere scritto nella forma f(x)=2  sin x(1- sin x)$.b. Trova per quale valore di x è r_i=2 r_i e calcola, per tale valore di x, r_i, r_c, perimetro e area del triangolo A B C.b) x= frac { pi }{6} ; r_i= sqrt {3} ; r_f=2  sqrt {3} ; 2 p=18 ; 5=9  sqrt {3} [attach]74706[/attach]

EidosM · Accepted Answer

Cominciamo a svolgere la prima parte.

Per il teorema di Carnot,

BC^2 = 6^2 + 6^2 - 2*6*6 cos 2x = 72 - 72 cos 2x = 72 (1 - cos 2x) =

= 72 * 2 sin^2(x) = (12 sin x )^2

BC = 12 sin x

P = 6 + 6 + 12 sin x = 12 ( 1 + sin x )

S = BC/2 * h = 6 sin x * 6 cos (2x/2) = 36 sin x cos x

Adesso :

ri = 2S/P

rc = abc/(4S)

f(x) = ri/rc = 2S/P * 4S/abc = 8 S^2/(P*abc) =

= 8 * 36^2 sin^2(x) cos^2(x)/[12(1 + sin x) * 6*6*12 sin x ] =

= 288/144 * sin x cos^2(x)/(1 + sin x) = 2 sin x (1 - sin^2(x))/(1 + sin x) =

= 2 sin x (1 - sin x) come richiesto.

b) lo avvio e poi lo completi tu

se rc/ri = 2

allora 2 sin x (1 - sin x) = 1/2

4 s(1 - s) = 1

4s - 4s^2 - 1 = 0

4s^2 - 4s + 1 = 0

(2s - 1)^2 = 0

s = 1/2

x* = arcsin*(1/2) = pi/6 rad.

Ora non resta che sostituire questo valore nelle espressioni trovate :

nota che se sin x = 1/2, BC = 12/2 = 6 ed il triangolo é equilatero

per cui risulta

P = 3*6 = 18

S = rad(3)/4 * 36^2 = 9 rad(3)

ri = 2S/P = 18 rad(3)/18 = rad 3

rc = abc/(4S) = 216/(4*9 rad(3)) = 6/rad(3) = 2 rad(3)

EidosM

(@eidosm)

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01/03/2024 10:44

exProf · Answer

Magari si leggesse!

[Risolto] Trigonometria

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