RISPONDO A PARTIRE DAL FONDO.
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A) "dove posso trovare le risposte a questo tipo di domande?"
Le risposte le devi produrre tu, non esistono libri di risposte.
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B) "dove posso trovare la teoria di questo tipo di domande?"
Nella InterNet, a bizzeffe.
http://www.google.com/search?q=equazioni+razionali+intere
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C1) "Qual è la soluzione ...?"
C2) "... e perché?"
Belle domande!
Le risposte sarebbero semplicissime se il quesito a quattro opzioni fosse stato scritto bene (con poche parole in più) oppure se tu avessi trascritto, oltre al testo dell'item, anche quel paio di righe che stanno all'inizio del questionario.
Ahinoi, così non fu!
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C3) Fatti che aiutano a capire il perché.
C3a) Si chiama "soluzione S di un'equazione E nelle variabili X" l'insieme di tutte le configurazioni S = {x} dei valori delle variabili tali da rendere vera E.
C3b) Il Teorema Fondamentale dell'Algebra garentisce che ogni equazione razionale intera a coefficienti numerici ha esattamente tante radici in campo complesso per quant'è il suo grado; cioè la soluzione di un'equazione di grado N ha una soluzione che consiste di N valori (non necessariamente distinti).
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C4) "Un'equazione di secondo grado" ... "d) ammette sempre soluzione."
VERO
Non avendo specificato nulla né sui coefficienti né sulle radici SI DEVE intendere il caso più generale di coefficienti complessi e soluzione composta o di due radici distine o di una radice doppia.
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D) FORMULAZIONE ALTERNATIVA
Un'equazione di secondo grado a coefficienti reali ha radici reali:
a) solo se ha discriminante positivo.
b) solo se ha discriminante non negativo.
c) solo se ha discriminante negativo.
d) per ogni configurazione dei valori dei coefficienti.
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D1) "Qual è la soluzione ...?" ... "b) solo se ha discriminante non negativo."
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D2) "... e perché?"
Perché la procedura risolutiva pubblicata da Bramegupta nel VII secolo prescrive a un certo punto di estrarre la radice quadrata del discriminante e, se questo è negativo, la sua radice quadrata ha valore immaginario e quindi le radici dell'equazione di cui essa fa parte non sono reali.
I passaggi di Bramegupta sono i seguenti.
1) Ridurre l'equazione alla forma "a*x^2 + b*x + c = 0".
2) Dividere per il coefficiente direttore: si ha "x^2 - s*x + p = 0".
3) Completare il quadrato dei termini in x: x^2 - s*x = (x - s/2)^2 - (s/2)^2.
4) Sostituire ottenendo "(x - s/2)^2 - (s/2)^2 + p = 0".
5) SCRIVERE IL TERMINE NOTO COME OPPOSTO DI UN QUADRATO
* - (s/2)^2 + p = - (√(s^2 - 4*p)/2)^2
E QUI CASCA L'ASINO: se Δ = s^2 - 4*p < 0, allora si deve scrivere
* - (s/2)^2 + p = - (i*√(4*p - s^2)/2)^2
il che, nei successivi passaggi, dà luogo a radici complesse.
Per coprire entrambi i casi conviene scrivere genericamente
* - (s/2)^2 + p = - (√Δ/2)^2
6) Sostituire e applicare il prodotto notevole "differenza di quadrati"
* (x - s/2)^2 - (s/2)^2 + p = 0 ≡
≡ (x - s/2)^2 - (√Δ/2)^2 = 0 ≡
≡ (x - s/2 + √Δ/2)*(x - s/2 - √Δ/2) = 0
7) Applicare la legge d'annullamento del prodotto e distinguere le radici
* (x - s/2 + √Δ/2)*(x - s/2 - √Δ/2) = 0 ≡
≡ (x - (s - √Δ)/2 = 0) oppure (x - (s + √Δ)/2 = 0) ≡
≡ (x = (s - √Δ)/2) oppure (x = (s + √Δ)/2)
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D3) CONCLUSIONE (vale solo nel caso che (s, p) siano reali)
* se Δ < 0 la soluzione ha due radici complesse coniugate
* se Δ = 0 la soluzione ha una radice reale doppia
* se Δ < 0 la soluzione ha due radici reali distinte
