La parte che hai scritto tra parentesi quadre è il teorema di Riemann sulle serie.
L'idea di fondo è che, se una serie converge semplicemente ma non assolutamente, allora le serie della sua parte positiva e della sua parte negativa divergono entrambe, ma il termine generico è infinitesimo. Ti scrivo di seguito l'enunciato e dimostrazione dove puoi trovare anche su Rudin - "Principi di analisi matematica".
Ennunciato
Sia $\left\{u_n\right\}_{n \in \mathbb{N}}$ una successione a valori reali tale che la serie associata sia semplicemente convergente:
$$\sum_{k=0}^n u_k \underset{n \rightarrow +\infty}{\longrightarrow} \ell \in \mathbb{R},$$ ma non assolutamente convergente, $$\sum_{k=0}^n |u_k| \underset{n \longrightarrow +\infty}{\longrightarrow} + \infty.$$
Sia inoltre $\alpha \in \mathbb{R} \cup \{-\infty,+\infty\}$. Allora esiste una permutazione \mathbb{N}\longrightarrow\mathbb{N}$ tale che $$\sum_{k=0}^n u_{\sigma(k)} \underset{n \rightarrow +\infty}{\longrightarrow} \alpha.$$
Dimostrazione
Lemma
Per ogni $n \in \mathbb{N}$ si ponga :$$ \begin{align} a_n:=&\max\{u_n,0\},\\ b_n:=&\min\{0,u_n\}. \end{align} $$ (queste serie non sono altro che le serie dei termini, rispettivamente, positivi e negativi estratti dalla serie originaria; ovviamente tutti quelli uguali a 0 possono essere rimossi). Allora :$$\sum_{k=0}^n a_k \underset{n \rightarrow +\infty}{\longrightarrow} +\infty \quad \text{e} \quad \sum_{k=0}^n b_k \underset{n \rightarrow +\infty}{\longrightarrow} -\infty.$$ Infatti, dato che la serie $\sum u_n$ converge e che :$$ \begin{align} u_n&=a_n+b_n \qquad\forall n \in \mathbb{N},\\ |u_n|&=a_n-b_n \qquad\forall n \in \mathbb{N}, \end{align} $$ allora le serie $\sum a_n$ e $\sum b_n$ o sono entrambe convergenti o entrambe divergenti. Ma se le due serie convergessero, allora anche $\sum (a_n-b_n)=\sum |u_n|$ dovrebbe convergere, il che è assurdo. Inoltre, poiché per ogni $n \in \mathbb{N}$ $a_n \geq 0$ e $b_n \leq 0$, allora le due serie associate a tali successioni devono divergere rispettivamente a $+\infty$ e $-\infty$.
Dimostrazione del teorema
Per semplicità si supponga che $\alpha\in \mathbb{R}$, il caso $\alpha=\pm \infty$ è analogo. Costruzione della permutazione Una possibile costruzione della permutazione σ di $\mathbb{N}$ procede nel modo seguente: si sommano i termini non negativi fino ad oltrepassare il valore $\alpha$ e in seguito si aggiungano i termini strettamente negativi fino a quando la somma parziale diventa strettamente inferiore ad $\alpha$ (questo procedimento è sempre possibile grazie al lemma). Si itera quindi la procedura, sommando i termini positivi a partire da dove ci si è fermati, in seguito i termini negativi, e via discorrendo. La permutazione σ si definisce quindi come la permutazione associata all'ordinamento dei termini utilizzato in tale procedura. Convergenza Dato che la serie $\sum u_n$ è convergente allora per ogni $\varepsilon>0$ esiste $N_0\in \mathbb{N}$ tale che: $$|u_n|<\varepsilon\qquad \forall n\geq N_0.$$ Di conseguenza, prendendo $N_1=1+\max\{\sigma^{-1}(0),\sigma^{-1}(1),\ldots,\sigma^{-1}(N_0)\}$, si ha che: $$|u_{\sigma(n)}|<\varepsilon \qquad \forall n\geq N_1$$ (infatti certamente σ(n) > N0). Sia ora $N_2$ il più piccolo intero maggiore di $N_1$ tale che $u_{\sigma(N_2)}$ e $u_{\sigma(N_2+1)}$ siano di segno opposto. Per come è stata costruita la permutazione σ , si ha che: $$\left|\alpha-\sum_{k=0}^{N_2} u_{\sigma(k)} \right| \leq | u_{\sigma(N_2)}|\leq \varepsilon.$$ Sia definisca ora, per $n \geq 2$, la proposizione: $$\mathcal{P}(n): \left|\alpha-\sum_{k=0}^{n} u_{\sigma(k)} \right| \leq \varepsilon.$$ È chiaro che $\mathcal{P}(N_2)$ è verificata. Si supponga ora che sia vera per $n \geq N_2$.
Distinguiamo a questo punto i due casi che seguono.
Primo caso:
Se:
$$0<\alpha-\sum_{k=0}^{n} u_{\sigma(k)}\leq \varepsilon;$$
allora: $$0 \leq u_{\sigma(n+1)} \leq \varepsilon$$
e dunque: $$\left|\alpha-\sum_{k=0}^{n+1} u_{\sigma(k)} \right| \leq \varepsilon.$$
Secondo caso:
Se: $$-\varepsilon \leq \alpha-\sum_{k=0}^{n} u_{\sigma(k)}\leq 0;$$ allora: $$-\varepsilon \leq u_{\sigma(n+1)} < 0$$
perciò: $$\left|\alpha-\sum_{k=0}^{n+1} u_{\sigma(k)} \right| \leq \varepsilon.$$
Per il principio d'induzione, risulta dimostrato che: $$\forall \varepsilon>0,\ \exists N_2 \in \mathbb{N},\ \forall n \in \mathbb{N},\ n \geq N_2 \Longrightarrow \left|\alpha-\sum_{k=0}^{n} u_{\sigma(k)} \right| \leq \varepsilon;$$ e dunque la serie converge ad $\alpha$.
