Notifiche
Cancella tutti

[Risolto] Teorema di Dirichlet

  

0

( Teorema di Dirichlet ) Una serie converge incondizionatamente se e solo se converge assolutamente.
[ Se ciò non accade `e possibile riordinare gli elementi della serie in modo
da cambiare il carattere della serie, e anche in modo da ottenere una serie
convergente ad un qualsiasi numero assegnato c, o divergente a + oppure a  ]

sto cercando la dimostrazione della sezione tra [...] soprattutto per i casi di + e  ma online non riesco a trovarla e neppur sul testo consigliato per il corso di analisi 1( Analisi Matematica 1 E.giusti).

Qualcuno potrebbe aiutarmi?
grazie

Autore
Etichette discussione
2 Risposte



2

La parte che hai scritto tra parentesi quadre è il teorema di Riemann sulle serie.

L'idea di fondo è che, se una serie converge semplicemente ma non assolutamente, allora le serie della sua parte positiva e della sua parte negativa divergono entrambe, ma il termine generico è infinitesimo. Ti scrivo di seguito l'enunciato e dimostrazione dove puoi trovare anche su Rudin - "Principi di analisi matematica".

Ennunciato

Sia $\left\{u_n\right\}_{n \in \mathbb{N}}$ una successione a valori reali tale che la serie associata sia semplicemente convergente:

$$\sum_{k=0}^n u_k \underset{n \rightarrow +\infty}{\longrightarrow} \ell \in \mathbb{R},$$ ma non assolutamente convergente, $$\sum_{k=0}^n |u_k| \underset{n \longrightarrow +\infty}{\longrightarrow} + \infty.$$

Sia inoltre $\alpha \in \mathbb{R} \cup \{-\infty,+\infty\}$. Allora esiste una permutazione \mathbb{N}\longrightarrow\mathbb{N}$ tale che $$\sum_{k=0}^n u_{\sigma(k)} \underset{n \rightarrow +\infty}{\longrightarrow} \alpha.$$

Dimostrazione

Lemma

Per ogni $n \in \mathbb{N}$ si ponga :$$ \begin{align} a_n:=&\max\{u_n,0\},\\ b_n:=&\min\{0,u_n\}. \end{align} $$ (queste serie non sono altro che le serie dei termini, rispettivamente, positivi e negativi estratti dalla serie originaria; ovviamente tutti quelli uguali a 0 possono essere rimossi). Allora :$$\sum_{k=0}^n a_k \underset{n \rightarrow +\infty}{\longrightarrow} +\infty \quad \text{e} \quad \sum_{k=0}^n b_k \underset{n \rightarrow +\infty}{\longrightarrow} -\infty.$$ Infatti, dato che la serie $\sum u_n$ converge e che :$$ \begin{align} u_n&=a_n+b_n \qquad\forall n \in \mathbb{N},\\ |u_n|&=a_n-b_n \qquad\forall n \in \mathbb{N}, \end{align} $$ allora le serie $\sum a_n$ e $\sum b_n$ o sono entrambe convergenti o entrambe divergenti. Ma se le due serie convergessero, allora anche $\sum (a_n-b_n)=\sum |u_n|$ dovrebbe convergere, il che è assurdo. Inoltre, poiché per ogni $n \in \mathbb{N}$ $a_n \geq 0$ e $b_n \leq 0$, allora le due serie associate a tali successioni devono divergere rispettivamente a $+\infty$ e $-\infty$.

Dimostrazione del teorema

Per semplicità si supponga che $\alpha\in \mathbb{R}$, il caso $\alpha=\pm \infty$ è analogo. Costruzione della permutazione Una possibile costruzione della permutazione σ di $\mathbb{N}$ procede nel modo seguente: si sommano i termini non negativi fino ad oltrepassare il valore $\alpha$ e in seguito si aggiungano i termini strettamente negativi fino a quando la somma parziale diventa strettamente inferiore ad $\alpha$ (questo procedimento è sempre possibile grazie al lemma). Si itera quindi la procedura, sommando i termini positivi a partire da dove ci si è fermati, in seguito i termini negativi, e via discorrendo. La permutazione σ si definisce quindi come la permutazione associata all'ordinamento dei termini utilizzato in tale procedura. Convergenza Dato che la serie $\sum u_n$ è convergente allora per ogni $\varepsilon>0$ esiste $N_0\in \mathbb{N}$ tale che: $$|u_n|<\varepsilon\qquad \forall n\geq N_0.$$ Di conseguenza, prendendo $N_1=1+\max\{\sigma^{-1}(0),\sigma^{-1}(1),\ldots,\sigma^{-1}(N_0)\}$, si ha che: $$|u_{\sigma(n)}|<\varepsilon \qquad \forall n\geq N_1$$ (infatti certamente σ(n) > N0). Sia ora $N_2$ il più piccolo intero maggiore di $N_1$ tale che $u_{\sigma(N_2)}$ e $u_{\sigma(N_2+1)}$ siano di segno opposto. Per come è stata costruita la permutazione σ , si ha che: $$\left|\alpha-\sum_{k=0}^{N_2} u_{\sigma(k)} \right| \leq | u_{\sigma(N_2)}|\leq \varepsilon.$$ Sia definisca ora, per $n \geq 2$, la proposizione: $$\mathcal{P}(n): \left|\alpha-\sum_{k=0}^{n} u_{\sigma(k)} \right| \leq \varepsilon.$$ È chiaro che $\mathcal{P}(N_2)$ è verificata. Si supponga ora che sia vera per $n \geq N_2$.

Distinguiamo a questo punto i due casi che seguono.

Primo caso:

Se:

$$0<\alpha-\sum_{k=0}^{n} u_{\sigma(k)}\leq \varepsilon;$$

allora: $$0 \leq u_{\sigma(n+1)} \leq \varepsilon$$

e dunque: $$\left|\alpha-\sum_{k=0}^{n+1} u_{\sigma(k)} \right| \leq \varepsilon.$$

Secondo caso:

Se: $$-\varepsilon \leq \alpha-\sum_{k=0}^{n} u_{\sigma(k)}\leq 0;$$ allora: $$-\varepsilon \leq u_{\sigma(n+1)} < 0$$

perciò: $$\left|\alpha-\sum_{k=0}^{n+1} u_{\sigma(k)} \right| \leq \varepsilon.$$

Per il principio d'induzione, risulta dimostrato che: $$\forall \varepsilon>0,\ \exists N_2 \in \mathbb{N},\ \forall n \in \mathbb{N},\ n \geq N_2 \Longrightarrow \left|\alpha-\sum_{k=0}^{n} u_{\sigma(k)} \right| \leq \varepsilon;$$ e dunque la serie converge ad $\alpha$.

@simon ma dunque per il caso +infinito e -infinito si ragiona proprio uguale oppure va modificato qualcosa?

Grazie

 

Si ragiona uguale. 



1

 

Stai parlando di serie che convergono indipendentemente dal riordinamento dei termini. Ricordo che sul Giusti 1 (edizione fine anni '80 per il corso annuale di Analisi 1) vi era un paragrafo intitolato proprio "Riordinamento dei termini di una serie" che dimostrava codesto Teorema e quello che, nel caso di serie convergenti ma non assolutamente convergenti, dimostrava che preso comunque un numero reale esiste un riordinamento ad esso convergente.

52D8FE59 6A8C 4B6A A4C0 67EAE843EEF3
0135CE9F 758B 423F 9D1B E82478FD0BE0
0D039E1D 33B6 4264 8B74 9B48850F85A0
EED26822 AA6F 4CC0 BA64 616A7CA2046D

 

@lorenzo00 grazie... sull'attuale Giusti non c'è nulla ahimè

 



Risposta




SOS Matematica

4.6
SCARICA