[Risolto] Carattere serie

Bella domanda. Questa serie converge per confronto asintotico.

Consideriamo il denominatore - lo possiamo scrivere come

(ln n)^(ln n) = e^[ln (ln n)^(ln n) ] =

= e^ [ ln n * ln ln n ] = (e^ln n)^(ln ln n) = n^(ln ln n).

Adesso il limite per n->oo di ln ln n é infinito per cui

esiste un v tale che per n > v

ln ln n > 2

( ln n > e^2 => n > e^(e^2) )

Per cui risulta 

n^(ln ln n ) > n^2  definitivamente ( per n > v )

e passando ai reciproci

1/[(ln n)^(ln n)] é definitivamente maggiorata da 1/n^2

che converge e quindi converge.

Wolfram dice che il valore é circa 5.7.