[Risolto] Teorema della divergenza - Analisi 2

Si osserva che la parametrizzazione di $\Sigma$ è la superficie di un ellissoide di equazione cartesiana
\[
\frac{x^{2}}{9}+y^{2}+z^{2}=1
\]
ed è una superficie chiusa, quindi possiamo applicare il teorema della divergenza.

Teorema della divergenza.

Sia $D \subset \mathbb{R}^{3}$ un dominio limitato, semplice rispetto a tutti e tre gli assi cartesiani , la cui frontiera è una superficie regolare a pezzi e orientabile; indichiamo con $\hat{n}_{e}$ il versore normale esterno a $\partial D$ e sia $\vec{F}=F_{1} \hat{x}+F_{2} \hat{y}+F_{3} \hat{z}$ un campo vettoriale $\mathcal{C}^{1}(D)$
Allora vale la seguente formula:
\[
\iiint_{D} \operatorname{div} \vec{F} d x d y d z=\iiint\left(\frac{\partial F_{1}}{\partial x}+\frac{\partial F_{2}}{\partial y}+\frac{\partial F_{3}}{\partial z}\right) d x d y d z=\iint_{\partial D} \vec{F} \cdot \hat{n}_{e} d \sigma
\]
In forma discorsiva, il teorema afferma che il flusso di un campo vettoriale uscente da una superficie chiusa uguaglia l'integrale della divergenza del campo nella regione racchiusa dalla superficie stessa.
Abbiamo
\[
\begin{array}{l}
F_{1}=2 y \arctan x \\
F_{2}=\frac{y(z+1)^{2}}{z^{2}+1}-\frac{y^{2}}{x^{2}+1} \\
F_{3}=x y-\log \left(z^{2}+1\right)
\end{array}
\]

e possiamo calcolare le componenti di $d i v \vec{F}:$
\[
\begin{aligned}
\frac{\partial F_{1}}{\partial x} &=\frac{2 y}{1+x^{2}} \\
\frac{\partial F_{2}}{\partial y} &=\frac{(z+1)^{2}}{z^{2}+1}-\frac{2 y}{x^{2}+1} \\
\frac{\partial F_{3}}{\partial z} &=-\left(\frac{1}{z^{2}+1} \cdot 2 z\right)
\end{aligned}
\]
Applicando
(1) otteniamo
\[
\iint_{\Sigma} \vec{F} \cdot \hat{n} d \Sigma=\iiint_{D} \operatorname{div} \vec{F} d x d y d z
\]
dove $\hat{n}=\hat{n}_{e}$ e $D=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: x^{2}+9 y^{2}+9 z^{2} \leq 9\right\},$ da cui
\[
\iiint_{\Sigma}\left(\frac{2 y}{1+x^{2}}+\frac{(z+1)^{2}}{z^{2}+1}-\frac{2 y}{x^{2}+1}-\left(\frac{1}{z^{2}+1} \cdot 2 z\right)\right) d x d y d z=\iiint_{\Sigma} 1 d x d y d z
\]
Ricordiamo che dato un ellissoide di equazione cartesiana:
\[
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1
\]
il suo volume $\tau$ è pari a
\[
\tau=\frac{4}{3} \pi a b c
\]
dunque
\[
\iint_{\Sigma} \vec{F} \cdot \hat{n} d \Sigma=\iiint_{D} \operatorname{div} \vec{F} d x d y d z=\iiint_{\Sigma} 1 d x d y d z=\frac{4}{3} \cdot 3 \pi=4 \pi
\]