[Risolto] Studio di funzione

f(x) = (x-1)/(x²-x-6) = (x-1)/((x-3)(x+2))

 

1. Dominio.

Si tratta di una funzione razionale fratta (rapporto di 2 polinomi). Tale tipo di funzioni sono definite continue e derivabili in tutto ℝ salvo i punti che annullano il denominatore.

Dominio = ℝ \ {-2,3}

 

2. Segno.

Usiamo la griglia dei segni.

.........-2...........1........3.......

-------------------0+++++++  (x-1)

-------X++++++++++++++  /(x+2)

---------------------------X+++  /(x-3)

-------X++++++0-------X+++  f(x)

• f(x) = 0 per x=1
• f(x) < 0 in (-∞,-2) U (1,3)
• f(x) > 0 in (-2,1) U (3,+∞)

 

3. Simmetrie (parità)
La funzione non è ne pari ne dispari; infatti

f(-x) = -(x+1)/(-(x+3)(2-x)) = (x+1)/((x+3)(2-x)) ≠ f(x) quindi non è pari

f(-x) = -(x+1)/(-(x+3)(2-x)) = (x+1)/((x+3)(2-x)) ≠ -f(x) quindi non è dispari 

 

4. Limiti e asintoti.

• lim(x→±∞) f(x) = 0

La funzione ammette un asintoto orizzontale di equazione y=0

• lim(x→-2⁻) f(x) = -∞ 
• lim(x→-2⁺) f(x) = +∞ 

La funzione ammette un asintoto verticale di equazione x=-2

• lim(x→3⁻) f(x) = -∞ 
• lim(x→3⁺) f(x) = +∞ 

La funzione ammette un asintoto verticale di equazione x=3

 

5. Massimi e minimi assoluti

• dal limite per x→-2⁻ segue che Inf f(x) = -∞ quindi la funzione non ammette minimo assoluto.
• dal limite per x→-2⁺ segue che Sup f(x) = +∞ quindi la funzione non ammette massimo assoluto.

6. massimi/minimi relativi e monotonia

• derivata prima y' = - (x²-2x+7)/(x²-x-6)²
• punti stazionari y'(x) = 0 ⇒ x²-2x+7 = 0. Nessun zero il discriminante del trinomio è negativo. Δ=-24.
• Nessun punto stazionario significa ne massimi ne minimi ne flessi orizzontali.
• monotonia. Osserviamo che il numeratore è negativo per ogni punto del dominio, mentre il dominatore è positivo. Conclusione. La funzione è decrescente in ognuno dei tre intervalli che compongono il dominio, cioè (-∞,-2) U (-2,3) U (3,+∞)

NB. La derivata seconda è piuttosto incasinata. 

7. Grafico.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=PLOT++%28x-1%29%2F%28x%C2%B2-x-6%29

http://www.wolframalpha.com/input/?i=asymptotes+y+%3D+%28x+-+1%29%2F%28x%5E2+-+x+-+6%29
http://www.wolframalpha.com/input/?i=lim+%28x+-+1%29%2F%28x%5E2+-+x+-+6%29