[Risolto] Studio di funzione

y = (x - 1)/(x^2 - x - 6)

Facciamo lo studio sino alla derivata 1^ e conclusioni relative.

1° C.E.

x^2 - x - 6 ≠ 0  soluzioni: x ≠ 3 ∧ x ≠ -2

Quindi C.E. ]-inf; -2[U]-2;3[U]3;+inf[

2° intersezioni con gli assi

{y = (x - 1)/(x^2 - x - 6)

{y = 0

[x = 1 ∧ y = 0] con asse x

{y = (x - 1)/(x^2 - x - 6)

{x = 0

x = 0 ∧ y = 1/6

3° segno funzione

(x - 1)/(x^2 - x - 6) ≥ 0 se  -2 < x ≤ 1 ∨ x > 3 analogamente:

(x - 1)/(x^2 - x - 6) < 0 se 1 < x < 3 ∨ x < -2

4° condizioni agli estremi del C.E.

LIM(x - 1)/(x^2 - x - 6)=0        

x--->-inf

LIM(x - 1)/(x^2 - x - 6) =-∞

x--->-2-

LIM(x - 1)/(x^2 - x - 6) =+∞

x--->-2+

LIM(x - 1)/(x^2 - x - 6) =-∞

x--->3-

LIM(x - 1)/(x^2 - x - 6) =+∞

x--->3+

LIM(x - 1)/(x^2 - x - 6)=0

x--->+inf

Il 1° e l'ultimo limite indicano asintoto orizzontale y=0 gli altri due asintoti verticali x=-2 ed x=3

5° Derivata 1^ 

y'=- (x^2 - 2·x + 7)/(x^2 - x - 6)^2 non definita per i valori non definiti della funzione e sempre negativa

Quindi la funzione è sempre decrescente

Il grafico qualitativo necessita anche dello studio della derivata 2^. Questo lo lascio a te (comunque la concavità e la convessità sono definite dal grafico che ti rilascio. Ciao.

 

http://www.wolframalpha.com/input/?i=asymptotes+y+%3D+%28x+-+1%29%2F%28x%5E2+-+x+-+6%29
http://www.wolframalpha.com/input/?i=lim+%28x+-+1%29%2F%28x%5E2+-+x+-+6%29