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[Risolto] Spiegazione parabola

  

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qualcuno potrebbe spiegarmi i procedimenti per determinare l’equazione della parabola passante per A(0;1) e tangente alla retta 𝑦 = 3𝑥 − 1 nel suo punto di ascissa 1.

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6 Risposte
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Esplicitiamo l'ipotesi sull'asse di simmetria, cioè che sia parallelo all'asse delle y (ordinate) In questo caso l'equazione canonica della parabola è y=ax²+bx+c.

  • Fascio di parabole tangenti alla retta in T

Ora possiamo dire che vi sono tutti gli elementi per usare l'equazione del fascio di parabole tangenti alla retta y=mx+q nel punto T(x₀,yT). Il fascio ha equazione

y = mx+q+k(x-x₀)²

y = 3x-1 +k(x-1)²

  • Parabola passante per A(0,1)

Per determinare il valore della costante k e con questo identificare completamente la parabola imponiamo il passaggio per A(0,1)

1 = -1 + k(-1)²

k = 2

L'equazione della parabola è così y = 3x-1 +2(x-1)²

y = 2 x² - x + 1

 

Verifica grafica.

https://www.desmos.com/calculator/n7b8mslktq

 




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Attraverso sistema

{y = a·x^2 + b·x + 1

{y = 3·x - 1

risolvo:

3·x - 1 = a·x^2 + b·x + 1

a·x^2 + b·x + 1 - 3·x + 1 = 0

a·x^2 + x·(b - 3) + 2 = 0

Impongo la condizione di tangenza:

Δ = 0

(b - 3)^2 - 8·a = 0

b^2 - 6·b - 8·a + 9 = 0

Il punto di tangenza ha ordinata:

y = 3·1 - 1

y = 2

P(1,2) e anche la parabola passa per tale punto:

2 = a·1^2 + b·1 + 1

a + b = 1  --> a = 1 - b

b^2 - 6·b - 8·(1 - b) + 9 = 0

b^2 + 2·b + 1 = 0

(b + 1)^2 = 0

quindi: b = -1 e a = 1 - (-1)--->a = 2

EQUAZIONE: y = 2·x^2 - x + 1

 

 

2

Ciao Carola.

Immagino che la parabola sia del tipo:

y=ax^2+bx+c

A questo punto la parabola siccome passa per A(0,1) ha costante c=1. 
Quindi si semplifica in y= ax^2+bx+1 con a e b da determinare. Siccome conosci la retta tangente in x=1, che è y=3x-1, puoi procedere in due modi.

Attraverso sistema

Attraverso l’utilizzo opportuno delle formule di sdoppiamento.

Se per caso non dovessi riuscirci ti svolgerò io l’esercizio dopo la mia consueta pennichella pomeridiana. Ciao Luciano.




2

Considerato che, se l'asse é parallelo all'asse y, l'equazione é

y = ax^2 + bx + 1

che deve passare per T = (1;3-1) = (1;2)

e che la tangenza implica Delta = 0 per l'equazione

ax^2 + bx + 1 = 3x - 1

ovvero a x^2 + (b - 3) x + 2 = 0

puoi scrivere un sistema 2 x 2 che ti permette di trovare a e b.

 

(b - 3)^2 - 8a = 0

2 = a + b + 1

 

pertanto     b = 1 - a

(-2-a)^2 - 8a = 0

a^2 + 4a + 4 - 8a = 0

a^2 - 4a + 4 = 0

(a - 2)^2 = 0

a = 2    e   b = 1 - 2 = -1

 

y = 2x^2 - x + 1

 

Grafico

https://www.desmos.com/calculator/6ynvb8cmmf

 

 

 

2

 

Cattura

Attraverso l’utilizzo opportuno delle formule di sdoppiamento

Dai punti precedenti il punto di tangenza è P(1,2) quindi ammesso di conoscere a e b la retta deducibile con tali formule è:

(y + 2)/2 = a·1·x + b·(x + 1)/2 + 1 (vedi formule di sdoppiamento)

ottieni quindi:

y = x·(2·a + b) + b

e per confronto con la retta data:

{2·a + b =3

{b =-1

da cui: [a = 2 ∧ b = -1] che fornisce la parabola da cercare!




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Cara Carola, benvenuta!
Forse siamo cugini (il mio papà aveva tre cugini Marra: Pietro, Gino e Corrado; erano tutt'e quattro galatinesi.).
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Visto che sei un nuovo membro prima dei procedimenti richiesti ti offro un po' di osservazioni e consigli non richiesti.
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1) Prima della prossima domanda leggi
http://www.sosmatematica.it/regolamento/
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2) La retta "𝑦 = 3𝑥 − 1", scritta con strani caratteri Unicode, è illeggibile.
Devi usare caratteri UTF8 per i simboli e ISO-ANSI per testo e cifre; oppure usi l'editor LaTeχ (NON latex!) offerto dal sito.
Se scrivi a modo tuo, non comunichi e resti tagliata fuori.
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3) Per le prossime domande NON USARE costrutti del genere "qualcuno potrebbe".
* Scrivendo a un sito come questo già lo sai che molti potrebbero: sei un'ipocrita?
* Usando il condizionale stai conducendo un sondaggio e la mia risposta è "Io potrei, se tu me lo chiedessi!": è questo che intendi?
---------------
4) Devi SEMPRE trascrivere IL TESTO COMPLETO alla lettera.
Di parabole per A(0, 1) e tangenti la retta "x = 3*y - 1" nel punto T(1, 2/3) ce ne sono una duplice infinità, non una sola: è questo che intendi?
O forse t'è rimasta nella tastiera la specificazione sull'orientamento dell'asse di simmetria?
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PROCEDIMENTO
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A) Dichiarare le ipotesi aggiuntive che rendono il problema ben posto.
* asse di simmetria parallelo all'asse x
* retta tangente "x = 3*y - 1"
* punto di tangenza T(1, 2/3)
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B) Scrivere la forma generale per la parabola Γ del tipo individuato fra i tre possibili (asse di simmetria parallelo a un asse coordinato o che li interseca entrambi).
* Γ(a, h, w) ≡ x = w + a*(y - h)^2
in funzione di
* apertura "a != 0"
* coordinate del vertice V(w, h)
NOTA
Per asse di simmetria parallelo all'asse y si scrive
* Γ(a, h, w) ≡ y = h + a*(x - w)^2
---------------
C) Scrivere i vincoli derivanti dalle condizioni di passaggio, farne sistema e determinare due dei tre parametri; specializzare Γ.
Vincoli
* per A(0, 1): 0 = w + a*(1 - h)^2
* per T(1, 2/3): 1 = w + a*(2/3 - h)^2
Sistema
* (0 = w + a*(1 - h)^2) & (1 = w + a*(2/3 - h)^2) & (a != 0) ≡
≡ (h = (5*a + 9)/(6*a)) & (w = - (a - 9)^2/(36*a))
da cui
* Γ(a) ≡ x = - (a - 9)^2/(36*a) + a*(y - (5*a + 9)/(6*a))^2 ≡
≡ x = a*(y^2 - ((5*a + 9)/(3*a))*y + (2*a + 9)/(3*a))
---------------
D) Per determinare il parametro residuo si usa il vincolo che esprime la condizione di tangenza: nel punto T la pendenza della parabola dev'essere eguale a quella della tangente.
--------
D1) La retta
* t ≡ x = 3*y - 1 ≡ y = (x + 1)/3
ha pendenza
* m = 1/3
--------
D2) La parabola
* Γ(a) ≡ x = a*(y^2 - ((5*a + 9)/(3*a))*y + (2*a + 9)/(3*a))
ha pendenza
* dy/dx = m(y) = 3/(6*a*y - (5*a + 9))
che in T vale
* m(2/3) = 3/(6*a*2/3 - (5*a + 9)) = - 3/(a + 9)
--------
D3) Il vincolo risulta
* 1/3 = - 3/(a + 9) ≡ a = - 18
---------------
D4) La parabola richiesta risulta
* Γ ≡ x = - 9*(2*y^2 - 3*y + 1)
------------------------------
ALTERNATIVAMENTE, se in classe tua non sapete ancora calcolare dy/dx.
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D) Per determinare il parametro residuo si usa il vincolo che esprime la condizione di tangenza: dev'essere eguale a zero il discriminante Δ(a) dell'equazione risolvente del sistema fra le equazioni delle due curve.
* (x = 3*y - 1) & (x = a*(y^2 - ((5*a + 9)/(3*a))*y + (2*a + 9)/(3*a)))
Risolvente
* a*(y^2 - ((5*a + 9)/(3*a))*y + (2*a + 9)/(3*a)) - (3*y - 1) = 0 ≡
≡ (y - 2/3)*(a*(y - 1) - 6) = 0
Discriminante
* Δ(a) = (a + 18)^2/9
che si azzera per
* a = - 18
==============================
PESSIMA NOTIZIA: TI TOCCA RIFARE TUTTI I CALCOLI!
Mentre giuro sulla completezza del procedimento devo (ahimè!) confessarti che i miei calcoli non sono corretti (chissà in quale passaggio ho smarronato senza rendermene conto) e che l'esercizio dovrai svolgerlo da te.
Ti chiedo scusa, ma proprio non mi va di ricominciare da capo.



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