[Risolto] Sostituzioni nelle equazioni irrazionali

SOLUZIONE

$\sqrt[3]{2-x}+\sqrt[3]{x+1}=\sqrt[3]{3}$

Eleva entrambi i membri all terza

$2-x+3\sqrt[3]{(2-x)^{2}\cdot(x+1)}+3\sqrt[3]{(2-x)\cdot(x+1)^{2}}+x+1=3$

Fattorizza

$2-x+3\sqrt[3]{(x+1)\cdot(2-x)}\cdot(\sqrt[3]{2-x}+\sqrt[3]{x+1})+x+1=3$

Fai alcuni semplici calcoli (somme e differenze)

$3\sqrt[3]{(x+1)\cdot(2-x)}\cdot(\sqrt[3]{2-x}+\sqrt[3]{x+1})=0$

Dividi entrambi i membri per $3$

$\sqrt[3]{(x+1)\cdot(2-x)}\cdot(\sqrt[3]{2-x}+\sqrt[3]{x+1})=0$

Applica la legge di annullamento del prodotto

• Primo fattore

$\sqrt[3]{(x+1)\cdot(2-x)}=0$

$(x+1)\cdot(2-x)=0$

$x+1=0~\wedge~2-x=0$

$x=-1~\wedge~x=2$

• Secondo fattore

$\sqrt[3]{2-x}+\sqrt[3]{x+1}=0$

$\sqrt[3]{2-x}=-\sqrt[3]{x+1}$

$2-x=-x-1$

$2=-1$

$x\in$ Ø

Soluzione

$x_{1}=-1,~x_{2}=2$

 
CONSIGLIO

Come hai potuto vedere, la risoluzione di questo esercizio non è stata poi così complicata: non sono servite strane sostituzioni.

Semplicemente è stato necessario fare quello che di solito è scritto sui libri di matematica e cioè quando hai l’incognita sotto radice, elevi entrambi i membri dell’equazione. Poi alla fine, in questo caso, usi la legge di annullamento del prodotto.

Se non riesci a fare un esercizio puoi controllare su SymboLab o altri tool matematici. Tuttavia, se ti viene proposta una soluzione a cui tu e nessun altro studente sarebbe mai arrivato con la propria mente, allora ci deve essere per forza un altro metodo.

Perché un computer ti proporrà sempre il metodo più veloce, ma non è detto che sia quello raggiungibile dal cervello umano.

E poi, ci sarà sempre qualche esercizio che non riuscirai a risolvere subito... è normalissimo ed è per questo che esiste SosMatematica!

In realtà la sostituzione in esercizi di questo tipo, o in genere in equazioni irrazionali in cui compaiono più radicali, è una strada che semplifica molto la risoluzione. In alcuni esercizi ci vuole più occhio che in altri, per esempio nel primo esercizio che posti, non è immediato capire quale sia la sostituzione più idonea, però se ponessi il secondo radicale uguale a t, ti accorgi subito che non semplifichi l'equazione. Ciò avviene invece se poni il primo radicale uguale a t e in un colpo solo elimini due radici. Discorso diverso per quanto riguarda il secondo esercizio, se tu vedi sono radicali aventi stesso radicando ma indice diverso, la regola che vale in questi casi per far "scomparire" i radicali è quella di porre t uguale a un radicale con indice pari al minimo comune multiplo degli indici presenti. Ovviamente ti ricordo in caso di indici pari le condizioni di esistenza affinché la radice sia ben posta