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[Risolto] Sostituzioni nelle equazioni irrazionali  

  

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Ciao a tutti, volendomi immergere nelle equazioni irrazionali più difficili, ultimamente riscontro difficoltà. Ho notato che alcune di esse vengono risolte attraverso sostituzioni.

Esempio:

$\sqrt[3]{2-x}+\sqrt[3]{x+1}=\sqrt[3]{3}$, qui io ho provato a risolvere normalmente svolgendo tutti i calcoli ma non si finisce più, mentre SymboLab la risolve applicando le seguenti sostituzioni: $\sqrt[3]{2-x}\:=\:u$ e $x=-u^3+2$ ed i calcoli sembrano molto più semplici.

Quello che non capisco è da dove sbuchino queste sostituzioni, nella teoria che io ho letto non ne parlano e neanche nei video che ho visto a riguardo. Forse non sono spiegate perché non esiste un metodo di risoluzione unico e tutto varia in base all'equazione che si ha davanti. Adesso sono paralizzato, non so dove mettere mano. 

Anche in questa equazione ad esempio: $\displaystyle\frac{3\sqrt{x}-\sqrt[3]{x}}{\sqrt{x}+3\sqrt[3]{x}}-\frac{2\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}}{\sqrt{x}+2\sqrt[3]{x}}=-\frac{1}{4}$

Qui viene posta $t=\:\sqrt[6]{x}$, successivamente "x in funzione di t" $x\:=\:t^6$ quindi $\sqrt{x}=\sqrt{t^6}=t^3$ e $\sqrt[3]{x}=\sqrt[3]{t^6}=t^2$. 😳 😳 😳 

Sinceramente non avrei mai pensato ad una cosa di questo genere, forse perché ancora non sono così capace. Come posso imparare a risolvere equazioni di questo genere? 😔 

Oggi mi ero prefissato di risolvere queste equazioni: https://www.youmath.it/esercizi/es-algebra-elementare/eq-irrazionali-radici/3818-esercizi-sulle-equazioni-irrazionali-avanzati.html ma a quanto pare senza questo pezzo mancante delle sostituzioni non vado da nessuna parte. 

Mi sento un po' scoraggiato ma son le difficoltà che fanno progredire quindi avanti tuttaaaaaaaaaaaa! 💪🧐 

Grazie a chi spenderà un po' del suo tempo per darmi qualche consiglio a riguardo. 🖐️ 

Ciao @iloveyou 😃

 

Per tua fortuna nella prima equazione non c’è bisogno di fare sostituzioni o di usare altri procedimenti che giustamente non ti verrebbero in mente...

Ora ti mostri come fare!

Poi controllerò anche la seconda equazione.

@us la seconda equazione non c'è bisogno che la controlli, diciamo che poi l'ho risolta con questo aiuto sapendo le sostituzioni da fare, il punto è che a me non sarebbero mai venute in mente e probabilmente non sarei stato capace di risolvere quella equazione da solo 😲.

Per quanto riguarda la prima, avendo tre radici, non sono un bel po' di calcoli poiché effettuando il cubo di binomio ed avendo i tripli prodotti, non andranno mai praticamente via? 🤔 😆 

@iloveyou Ok, perfetto, allora la seconda equazione non la risolvo.

Per quanto riguarda la prima, non ci sono molti calcoli da fare, ora ti faccio vedere... in totale saranno 6 o 7 passaggi circa.

Ciao @iloveyou, ho finito di scrivere la risposta.

Etichette discussione
2 Risposte
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In realtà la sostituzione in esercizi di questo tipo, o in genere in equazioni irrazionali in cui compaiono più radicali, è una strada che semplifica molto la risoluzione. In alcuni esercizi ci vuole più occhio che in altri, per esempio nel primo esercizio che posti, non è immediato capire quale sia la sostituzione più idonea, però se ponessi il secondo radicale uguale a t, ti accorgi subito che non semplifichi l'equazione. Ciò avviene invece se poni il primo radicale uguale a t e in un colpo solo elimini due radici. Discorso diverso per quanto riguarda il secondo esercizio, se tu vedi sono radicali aventi stesso radicando ma indice diverso, la regola che vale in questi casi per far "scomparire" i radicali è quella di porre t uguale a un radicale con indice pari al minimo comune multiplo degli indici presenti. Ovviamente ti ricordo in caso di indici pari le condizioni di esistenza affinché la radice sia ben posta 

@anguus90 Grazie dei consigli! 

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SOLUZIONE

$\sqrt[3]{2-x}+\sqrt[3]{x+1}=\sqrt[3]{3}$

Eleva entrambi i membri all terza

$2-x+3\sqrt[3]{(2-x)^{2}\cdot(x+1)}+3\sqrt[3]{(2-x)\cdot(x+1)^{2}}+x+1=3$

Fattorizza

$2-x+3\sqrt[3]{(x+1)\cdot(2-x)}\cdot(\sqrt[3]{2-x}+\sqrt[3]{x+1})+x+1=3$

Fai alcuni semplici calcoli (somme e differenze)

$3\sqrt[3]{(x+1)\cdot(2-x)}\cdot(\sqrt[3]{2-x}+\sqrt[3]{x+1})=0$

Dividi entrambi i membri per $3$

$\sqrt[3]{(x+1)\cdot(2-x)}\cdot(\sqrt[3]{2-x}+\sqrt[3]{x+1})=0$

Applica la legge di annullamento del prodotto

• Primo fattore

$\sqrt[3]{(x+1)\cdot(2-x)}=0$

$(x+1)\cdot(2-x)=0$

$x+1=0~\wedge~2-x=0$

$x=-1~\wedge~x=2$

Secondo fattore

$\sqrt[3]{2-x}+\sqrt[3]{x+1}=0$

$\sqrt[3]{2-x}=-\sqrt[3]{x+1}$

$2-x=-x-1$

$2=-1$

$x\in$ Ø

Soluzione

$x_{1}=-1,~x_{2}=2$

 
CONSIGLIO

Come hai potuto vedere, la risoluzione di questo esercizio non è stata poi così complicata: non sono servite strane sostituzioni.

Semplicemente è stato necessario fare quello che di solito è scritto sui libri di matematica e cioè quando hai l’incognita sotto radice, elevi entrambi i membri dell’equazione. Poi alla fine, in questo caso, usi la legge di annullamento del prodotto.

Se non riesci a fare un esercizio puoi controllare su SymboLab o altri tool matematici. Tuttavia, se ti viene proposta una soluzione a cui tu e nessun altro studente sarebbe mai arrivato con la propria mente, allora ci deve essere per forza un altro metodo.

Perché un computer ti proporrà sempre il metodo più veloce, ma non è detto che sia quello raggiungibile dal cervello umano.

E poi, ci sarà sempre qualche esercizio che non riuscirai a risolvere subito... è normalissimo ed è per questo che esiste SosMatematica!

@ILoveYou, se hai qualche altro dubbio o domanda dimmelo 😃

@us Grazie mille dei consigli! 😊 

@ILoveYou Di nulla! 😊

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