Il cubo di un binomio è un prodotto notevole che permette di sviluppare il cubo di un polinomio formato da due termini, e che viceversa fornisce la regola per scomporre lo sviluppo esprimendolo come cubo di un binomio.
Come calcolare il cubo di un binomio
Consideriamo il binomio $A+B$, il cui cubo è $(A+B)^{3}$. Per calcolarlo si possono sviluppare i prodotti coinvolti, facendo ricorso alla regola per il prodotto tra polinomi
$$
(A+B)^{3}=(A+B)(A+B)(A+B)=\left(A^{2}+A B+A B+B^{2}\right)(A+B)=
$$
$=\left(A^{2}+2 A B+B^{2}\right)(A+B)=A^{3}+A^{2} B+2 A^{2} B+2 A B^{2}+A B^{2}+B^{3}=$
$=A^{3}+3 A^{2} B+3 A B^{2}+B^{3}$
Date che questo genere di prodotto compare molto frequantemente negli esercizi, è bene imparare la regola per il cubo di un binomio:
il cubo di un binomio è uguale al cubo del primo termine, più il triplo prodotto del primo termine al quadrato per il secondo, più tre volte il primo termine per il quadrato del secondo termine, cui aggiungiamo infine il cubo del secondo termine.
E’ utile ricordare direttamente la cosiddetta formula del cubo di un binomio che ci permetterà di risparmiare calcoli e tempo:
$$
(A+B)^{3}=A^{3}+3 A^{2} B+3 A B^{2}+B^{3}
$$
Esempio di calcolo cubo di un binomio
Vediamo un esempo sul cubo di un binomio. Vogliamo calcolare
$$
(2 x-3 y)^{3}
$$
cioè il cubo del binomio $(2 x-3 y)$. Seguiamo la regola e calcoliamo i singoli termini coinvolti nella formula:
- il cubo del primo termine è
$8 x^{3}$ - il triplo prodotto del quadrato del primo, per il secondo è
$3 \cdot(2 x)^{2} \cdot(-3 y)=3 \cdot\left(4 x^{2}\right) \cdot(-3 y)=-36 x^{2} y$ - il triplo prodotto del primo termine, per il quadrato del secondo è
$3 \cdot(2 x) \cdot(-3 y)^{2}=3 \cdot(2 x) \cdot\left(9 y^{2}\right)=54 x y^{2}$ - il cubo del secondo termine è
$(-3 y)^{3}=-27 y^{3}$
Scriveremo quindi
$(2 x-3 y)^{3}=8 x^{3}-36 x^{2} y+54 x y^{2}-27 y^{3}$