[Risolto] sistema di equazioni

@anna.sa91

Dalle equazioni che hai ricavato, sottraendo membro a membro, otteniamo l'equazione della circonferenza:

x² + y² + x + y - 12 = 0

x² + x + (y - 3)*(y + 4) = 0

 

Dalla prima delle due equazioni che hai trovato (funzione omografica), si ricava il valore di:

y= (7x - 20)/(2x - 7)

 

Da cui si ricava:

y-3 = (x+1)/(2x-7)

y+4 = (15x - 48)/(2x - 7)

 

Sostituendo tali valori nell'equazione della circonferenza, sviluppando i calcoli, otteniamo:

 

x²*(4x²-28x+49) + x*(4x²-28x+49)+15x²-33x-48=0

 

4x⁴-24x³+36x²+16x-48=0

 

x⁴-6x³+9x²+4x-12=0

 

Dal teorema degli zeri razionali di un polinomio, risultano radici dell'equazione i valori:

x= - 1

x= 2  Non accettabile visto x≠2

(punto di tangenza tra circonferenza e funzione omografica) 

x= 3

 

Sostituendo i valori trovati nell'equazione:

y= (7x-20)/(2x-7)

 

si ricavano i corrispondenti valori di y

x= - 1  ==>  y=3

x= 3  ==> y= - 1

Quindi: S={ ( - 1, 3) v (3, - 1) }

 

Il sistema
* ((x + 1)/(x - 2) + (y + 1)/(y - 2) = 4) & (y/(x - 2) + x/(y - 2) = - 2)
è definito se nessun denominatore s'annulla, cioè per
* (x != 2) & (y != 2)
sotto tale condizione restrittiva si semplifica e risolve come segue.
Si tratta di calcolare le coordinate dei punti comuni alle due coniche che hai ottenuto tu:
* 2*x*y - 7*x - 7*y + 20 = 0: iperbole equilatera di asintoti x = 7/2, y = 7/2;
* (x + y)^2 - 6*(x + y) + 8: parabola degenere su due parallele distinte.
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* ((x + 1)/(x - 2) + (y + 1)/(y - 2) = 4) & (y/(x - 2) + x/(y - 2) = - 2) & (x != 2) & (y != 2) ≡
≡ ((x + 1)/(x - 2) + (y + 1)/(y - 2) - 4 = 0) & (y/(x - 2) + x/(y - 2) + 2 = 0) & (x != 2) & (y != 2) ≡
≡ ((2*x*y - 7*x - 7*y + 20)/((x - 2)*(y - 2)) = 0) & (((x + y)^2 - 6*(x + y) + 8)/((x - 2)*(y - 2)) = 0) & (x != 2) & (y != 2) ≡
≡ (2*x*y - 7*x - 7*y + 20 = 0) & ((x + y - 4)*(x + y - 2) = 0) & (x != 2) & (y != 2) ≡
≡ (2*x*y - 7*x - 7*y + 20 = 0) & ((x + y - 4 = 0) oppure (x + y - 2 = 0)) & (x != 2) & (y != 2) ≡
≡ (2*x*y - 7*x - 7*y + 20 = 0) & ((y = 4 - x) oppure (y = 2 - x)) & (x != 2) & (y != 2) ≡
≡ ((2*x*y - 7*x - 7*y + 20 = 0) & (y = 4 - x) oppure (2*x*y - 7*x - 7*y + 20 = 0) & (y = 2 - x)) & (x != 2) & (y != 2) ≡
≡ ((T(2, 2) punto doppio di tangenza) oppure S1(- 1, 3) oppure S2(3, - 1)) & (x != 2) & (y != 2) ≡
≡ (T(2, 2) & (x != 2) & (y != 2) oppure S1(- 1, 3) & (x != 2) & (y != 2) oppure S2(3, - 1) & (x != 2) & (y != 2) ≡
≡ S1(- 1, 3) oppure S2(3, - 1)