Per risolvere il problema, visto che conosci il centro della circonferenza, puoi calcolare la retta passante per il centro della circonferenza che sia allo stesso tempo perpendicolare a $y = 3x -1$.

In questo modo risolvendo il sistema fra le due rette si trova il punto in cui si incrociano e dunque il punto di tangenza.

L'equazione generica di una retta passante per un punto è $y-y_0 = m(x - x_0)$

di conseguenza la retta passante per $(-2,-3)$ e perpendicolare a $y = 3x - 1$  si scrive come:

$y + 3 = -\frac{1}{3}(x + 2)$  che è uguale a:

$y = -\frac{1}{3}x - \frac{11}{3}$

risolvo il sistema:

$y = 3x - 1$

$y = -\frac{1}{3}x - \frac{11}{3}$

 

da cui ricavo:

$x = -\frac{4}{5}$

$y = -\frac{17}{5}$

Il punto $P(-\frac{4}{5}, -\frac{17}{5})$  è il punto in cui la retta $3x -1$ è tangente alla circonferenza.

Adesso per trovare il raggio della circonferenza calcolo la distanza tra $P(-\frac{4}{5}, -\frac{17}{5})$ e il centro $C(-2, -3)$:

$r = \sqrt[2]{(-\frac{4}{5} + 2)^2 + (-\frac{17}{5} + 3)^2} = \sqrt[]{\frac{8}{5}}$

L'equazione della circonferenza è :

$(x + 2)^2 + (y + 3)^2 = \frac{8}{5}$

che si può scrivere in forma implicita come:

$x^2 + y^2 + 4x+ 6y + \frac{57}{5} = 0$

 

circ-r t.pdf

questa mattina mi sento buona !!

 

 

RIPASSI
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A) Nell'equazione della circonferenza generica in forma normale standard
* Γ ≡ (x - a)^2 + (y - b)^2 = q = r^2
ci sono tre parametri: raggio r (o q = r^2) e coordinate del centro C(a, b).
Si trova l'equazione della circonferenza trovando i tre parametri (a, b, q).
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B) La distanza d del punto P(u, v) dalla retta y = m*x + q è
* d(u, v, m, q) = |(m*u + q - v)|/√(m^2 + 1)
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C) Tutti e soli i punti P(x, y) equidistanti da due dati punti A(a, p) e B(b, q) giacciono sull'asse del segmento AB
C1) Per p = q: asse(AB) ≡ x = (a + b)/2
C2) Per p != q: asse(AB) ≡ y = (2*(b - a)*x + a^2 - b^2 + p^2 - q^2)/(2*(p - q))
Un generico punto dell'asse, all'ascissa k, è P(k, y(k)).
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D) La retta
* r ≡ y = m*x + h
e la circonferenza
* Γ ≡ (x - a)^2 + (y - b)^2 = q
sono tangenti se e solo se il sistema
* r & Γ ≡ (y = m*x + h) & ((x - a)^2 + (y - b)^2 = q)
ha una risolvente
* (x - a)^2 + (m*x + h - b)^2 - q = 0
con discriminante nullo
* Δ(a, b, h, m, q) = 0
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ESERCIZI
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1) «scrivi lequazione della circonferenza di centro c(-2;-3) e tangente alla retta di equazione y=3x-1»
Nella forma mostrata sub A usi come raggio la distanza vista sub B.
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2) «Determina le equazioni delle circonferenze passanti per i punti A(1;-4) e B(3;0) e tangenti alla retta di equazione 2x+y+3=0»
Sono entrambe centrate sull'asse di AB, da parti opposte rispetto all'intersezione con la tangente. Il centro è il generico punto P(k, y(k)) dell'asse, e il raggio è la distanza fra P e la tangente data.
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NOTA PERSONALE
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1.3) Il sito non è un servizio per svolgere esercizi e problemi.
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