Scrivi ecquazione dell'ellisse che passa per P e ha fuochi in F

@tnhrt

L'equazione dell'ellisse in forma canonica è:x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1. In questo caso essendo i fuochi sull'asse delle y (x=0) deve risultare:b^2 > a^2 inoltre deve risultare

c^2 = b^2 - a^2 . Per semplicità pongo:α = a^2 ; β = b^2  inoltre c^2 = √5^2=5

Quindi 5 = β - α -----> β = α + 5 

Mi riporto all'equazione più semplice:x^2/α + y^2/(α + 5) = 1 

Impongo il passaggio per P:

1^2/α + (- 2·√2)^2/(α + 5) = 1

8/(α + 5) + 1/α = 1

(9·α + 5)/(α·(α + 5)) = 1

9·α + 5 = α·(α + 5)

α^2 - 4·α - 5 = 0  ---> (α + 1)·(α - 5) = 0----> α = 5 ∨ α = -1

La negativa la scarto perché non può essere un quadrato pari a -1.

Quindi ho l'equazione:

x^2/5 + y^2/(5 + 5) = 1 ---> x^2/5 + y^2/10 = 1

Ciao (allego foto: osservala bene!--->Pitagora)

 

 

c = rad(5)     i fuochi sono sull'asse y =>  b^2 - a^2 = c^2 = 5

inoltre 1/a^2  + 8/b^2 = 1

 

1/a^2 + 8/(5 + a^2) = 1

a^2 + 5 + 8a^2 = a^2(a^2 + 5)

 

a^4 + 5a^2 - 9a^2 - 5 = 0

a^4 - 4a^2 - 5 = 0

a^4 - 5a^2 + a^2 - 5 = 0

(a^2 - 5)(a^2 + 1) = 0

a^2 = 5   =>  b^2 = 5 + 5 = 10

e l'equazione é

 

x^2/5 + y^2/10 = 1

 

 

 

PENSAVO D'AVERTI GIA' FORNITO TUTTO IL NECESSARIO
vedi "Problema #2" e "Obiezione formale #4" al link
https://www.sosmatematica.it/forum/postid/19593/
ed anche "la semidistanza focale c = √(|a^2 - b^2|)" al link
https://www.sosmatematica.it/forum/postid/19582/
MI SBAGLIAVO?
------------------------------
Ad ogni buon conto, l'ellisse che ha fuochi F(0, ± √5) sull'asse y e simmetrici rispetto all'origine è centrata nell'origine, con assi di simmetria sugli assi coordinati, semiassi a < b, equazione
* (x/a)^2 + (y/b)^2 = 1
e semidistanza focale, per la condizione sui fuochi,
* c = √(b^2 - a^2) = √5
La condizione di passaggio per P(1, - 2*√2) impone il vincolo
* (1/a)^2 + (- 2*√2/b)^2 = 1
e la natura geometrica del problema impone il vincolo che (0 < a < b) essendo le lunghezze dei semiassi.
Il sistema risolutivo quindi è
* (√(b^2 - a^2) = √5) & ((1/a)^2 + (- 2*√2/b)^2 = 1) & (0 < a < b) ≡
≡ (b^2 = 5 + a^2) & (b^2/a^2 + 8 = b^2) & (0 < a < b) ≡
≡ ((5 + a^2)/a^2 + 8 = 5 + a^2) & (b^2 = 5 + a^2) & (0 < a < b) ≡
≡ (a = ± √5) & (b^2 = 10) & (0 < a < b) ≡
≡ (a = √5) & (b = √10)
da cui l'ellisse
* (x/√5)^2 + (y/√10)^2 = 1
che è proprio il risultato atteso.