Circonferenze e triangolo

@mirea00

Ciao. Potresti postare anche la foto del testo da cui hai preso il problema ? Grazie.

Adesso ragiono meglio.

A = 162·k^2·√3 è il dato del problema relativo all'area di ABC.

Se chiamiamo l la misura di BC abbiamo pure: a = 1/2·l·(√3/2·l)

Ossia: A = √3·l^2/4 quindi la misura di BC:

162·k^2·√3 = √3·l^2/4 ---> l = 18·√2·k

L'altezza di tale triangolo equilatero ABC è pari a: h = √3/2·l ossia: 

h = √3/2·(18·√2·k) ---> h = 9·√6·k

Il raggio della circonferenza circoscritta è pari a:

r = 2/3·9·√6·k-----> r = 6·√6·k

"Tale raggio risulta essere l'altezza del triangolo equilatero AMN (vedi foto allegata)"

Il perimetro di AMN è legato al coefficiente di similitudine 2/3 relativo ai triangoli in questione.

Quindi il perimetro di ABC vale:

2p= 3·18·√2·k = 54·√2·k

il perimetro di AMN è i suoi 2/3:

perimetro AMN = 2/3·54·√2·k = 36·√2·k

Ultima risposta:

Area circonferenza maggiore:

pi·r^2 = pi·(6·√6·k)^2 = 216·pi·k^2)

La circonferenza minore ha raggio pari alla metà della maggiore (per proprietà geometriche):

pi·(6·√6·k/2)^2 = 54·pi·k^2

Per differenza ottengo l'area della corona circolare:

216·pi·k^2 - 54·pi·k^2 = 162·pi·k^2

Ciao.

Svolgo un ragionamento sintetico

Posto BC = L

 

rad(3)/4 L^2 = 162 k^2 rad(3)

L^2 = 648 k^2

 

L = rad(2*324 k^2) = 18 k rad(2)

 

P_[AMN] = 3 MN ( AMN é equilatero per similitudine determinata dal parallelismo )

e il rapporto di similitudine può essere dedotto comparando le altezze

H^2 = L^2 - (L/2)^2 = 3/4 L^2

H = L/2 rad(3) = rad(3)/2 * R rad(3) = 3/2 R

h = R

Così MN/BC = R : 3/2 R = 2/3

 

MN = 2/3 BC

P_[AMN] = 3* 2/3 BC = 2 BC = 36 k rad(2)

 

Nel triangolo equilatero di lato L e altezza h = (√3/2)*L, l'area è il semiprodotto base per altezza, ma anche il semiprodotto perimetro p = 3*L per inraggio r
* A = L*h/2 = (√3/4)*L^2 = (3/2)*L*r
da cui
* r = L/(2*√3)
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Per simmetria, mediane bisettrici e altezze coincidono; e coincidono di conseguenza baricentro ortocentro incentro e circumcentro dividendo le mediane in due parti: quella col vertice doppia di quella che tocca il lato.
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Quindi
il circumraggio R è il doppio dell'inraggio
* R = 2*r = L/√3
l'area S della corona è
* S = π*(R + r)*(R - r) = 3*π*r^2 = (π/4)*L^2
la parallela a un lato per il centro separa un trapezio isoscele d'altezza r da un triangolo simile all'originale, con rapporto 2/3 e perimetro
* (2/3)*p = 2*L
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Nel caso dell'esercizio il dato
* "162k^2√3" ≡ (162*√3)*k^2
vuol dire
* A = (√3/4)*L^2 = (162*√3)*k^2 ≡
≡ L = (18*√2)*k
da cui le espressioni in k richieste
* p(AMN) = 2*L = (36*√2)*k
* S = (π/4)*L^2 = 162*π*k^2