Esercizio apertura interruttore e induttanza

@exProf @EidosM @mg @mpg

Il testo è palesemente errato. Doveva essere: "dopo avere escluso la batteria ed avere CORTOCIRCUITATO il ramo RL"

È il secondo esercizio in pochi giorni scritto a membro di segugio sullo stesso tema. 

la soluzione proposta nella seconda foto è quella della corrente nel circuito se si suppone AZZERATA ISTANTANEAMENTE la E ( o fem):

i(t) = io *e^(-t/tau) = io *e^(-t*R/L) con tau = L /R

 

QUINDI il libro cerca , a parte l'errore concettuale {apertura del circuito che ha generato tutti i reclami precedenti} ABBASTANZA COMUNE,...

l'istante t* in cui la corrente scende all'1% di io.

Pertanto la soluzione della seconda foto è "CORRETTA"

 

 

nota che la io si semplifica e l'istante t* NON DIPENDE DAL SUO VALORE {0.1(6) A}

 

  pertanto quando tu chiedi:
<
Non capisco quel I(t) =0,010Io perchè se applico la formula I0=V/R avrei 4,5/27= 0,16 A e poi i(t) 1%*Io=1%*0,16=0,001 (non 0,01) {???}

o sbaglio {PIù CHE ALTRO CONFONDI!!!}?
<

sì  sbagli,

Lo        0.01*io = 0.01*0.1(6) =~ 0.0017 A

... e non c'entra con 0.01 ???

il libro NON VALUTA AFFATTO il VALORE assoluto della corrente!!!

per la teoria vedi qua...

{nel link tratto sia del processo di "carica" che di quello di "scarica"  che comincia "nel caso che E sia zero l'integrale generale è"    , ora E è zero solo  se L e R sono chiuse in corto "senza soluzione di continuità" mentre scorre io, per cui E è "posta in corto" almeno per un istante !!!

...  cosa che rende poco reale il circuito  al link proposto dell'ing Marturano}

 

 

https://it.answers.yahoo.com/question/index;_ylt=AwrC1C7Uu41gq0oAPjGH5IlQ;_ylu=Y29sbwNiZjEEcG9zAzgEdnRpZAMEc2VjA3Ny?qid=20130909114340AAzL3Pj

... contenuto del link NON PIù FUNZIONANTE!!! 2013-09-09

Nel circuito R-L quando si chiude l'interruttore ( generatore in continua o ingresso a gradino che è lo stesso) la corrente dovrebbe cambiare da 0 al valore di regime V0/R ( in continua difatti la L non viene considerata, perchè appunto si suppone che il transitorio sia terminato), ma questo viene impedito dalla legge di Faraday in quanto per il fenomeno di autoinduzione sorge una fem che si oppone alla causa che l'ha generata; di conseguenza LA CORRENTE NEL PRIMO ISTANTE è nulla.

Cioè i(0-) = i(0+)

Ma tale non può restare perchè cessando la "di" non vi sarebbe la fem autoindotta; in pratica la corrente sale secondo la soluzione dell'eq differenziale fino al valore di regime V0 / R ( che si ritiene raggiunto dopo 5 o 6 costanti di tempo L/R)

Scriviamo l'equazione del circuito:

Ri + L di/dt = E ----> dividendo per R ---> i -E/R = - (L /R)di/dt

posto x = i -E/R sarà dx /dt = di/dt, nella ipotesi di E/R costante

x = - (L /R)dx/dt e separando

xdt = - (L /R)dx ------> dx/x = -(R/L)dt e poi integrando indefinitamente

lnx = -(R/L) t + h con h arbitraria

passando agli esponenziali

x = e ^[-(R/L) t + h] = e^[-(R/L) t]*e^h = e^[-(R/L) t]*k ..... e^h = k

e ritornando ad i

i = x + E/R = e^[-(R/L) t]*k + E/R ...... ( INTEGRALE GENERALE)

per determinare la k usiamo la condizione della continuità della i nel primo istante ( i(0) = 0)

i ( 0) = 1*k +E/R = 0 -----> k = -E/R

sostituendo

i = - e^[-(R/L) t]*E/R + E/R = E/R [1-e^[-(R/L) t]]

= E/R [1-e^(-t/tau)] ... con tau = L/R (secondi) costante di tempo

vediamo che la corrente, congruentemente al fatto fisico, è nulla nel primo istante e poi cresce perchè il termine esponenziale tende a zero.

nel caso che E sia zero l'integrale generale è

i = e^[-(R/L) t]*k + E/R = e^[-(R/L) t]*k + 0

i (t) = e^[-(R/L) t]*k

se la L è " carica " ( come si usa dire) con la corrente io = i(0)

si avrà :

io = i(0) = e^[-(R/L) 0]*k= 1*k

quindi :

i (t) = e^[-(R/L) t]*k= io*e^[-(R/L) t]= io*e^(-t/tau)

--------------

nel caso RC il discorso è DUALE, sopra la L è l'elemento d'inerzia per la corrente ==> la continuità della corrente ( non può avere salti che presuppongono tensioni infinite su L, anche se è ammesso il cambiamento di pendenza), nell'altro caso C è elemento d'inerzia per la Vc che dovrà essere continua ( vc(0+) = vc(0-) per non ammettere che il campo elettrico sia cambiato in un tempo nullo ---> potenza infinita).

vc(t)= E[1-e^(-t/tau)] ..... dove stavolta tau = RC (secondi)

 

E CERTO CHE SBAGLI!
Qualunque risposta che accetti la falsa premessa di una domanda trabocchetto è sbagliata; le domande trabocchetto si fòrmulano apposta per distinguere chi legge con senso critico da chi legge "ad occhi chiusi".
L'unica possibile risposta corretta alla domanda della prima foto è
« Ah ah, professore! A partire dall'apertura del circuito la corrente si azzera istantaneamente. »

Per eventuali interpretazioni benevole della domanda (che però risulterebbe scritta da cani!) vedi al link
http://digilander.libero.it/nando.marturano/_Elettrotecnica/Transitorio_RL.html

Aprendo il circuito, occorre chiudere l'interruttore sul circuito RL escludendo il generatore. Per la presenza dell'induttanza e quindi la variazione di flusso del campo magnetico, la corrente diminuisce esponenzialmente con la legge:

i = io * e^ (-t/tau);

tau = L / R; tempo caratteristico del circuito.

Non leggo il valore di L, la foto è proprio brutta!

tau = 8,1 * 10^-5 / 27 = 3 * 10^-6 s; ????

io = V / R =  4,5 / 27 = 0,167 A; corrente a regime.

La corrente si deve ridurre di 1% = 1/100;

i = 0,167 -  0,167 * 1/100 = 0,1667 - 1,67 * 10^-3 = 0,16533 A.

i/io = e^(-t/tau);

-t/tau = ln(i/io);

t = - tau * ln(i/io);

t = - 3*10^-6 * ln(0,16533/0,167);

t = 2,5 * 10^-8 s;

Ho interpretato che l'interruttore S passi da A a B escludendo il generatore, (vedi figura). 

 

E' così che va schematizzato il circuito ; ci vuole un diodo ideale (privo di caduta diretta) che, ad interruttore chiuso, si trova polarizzato inversamente e non conduce, ma, all'apertura dell'interruttore va in "free wheeling" e permette all'energia immagazzinata nell'induttanza di non trasformarsi in arco elettrico tra i poli fisso e mobile dell'interruttore ma di dissiparsi nella resistenza con un andamento esponenziale come quello schematizzato dalla curva rossa.

Costante di tempo Ƭ = L/R = 81/27 = 3*10^-6 sec 

corrente a regime I = V/R = 4,5/27 = 1/6 di A 

1/100 = e^-k

-k*ln e = ln 1/100 ..(ln e = 1)

-k = -4,605

k = 4,605 = t/Ƭ 

t = 3*10^-6*4,605 = 13,8 msec 

 

E = Ri + L di/dt

Se, a partire dal valore Io si esclude il generatore tramite apertura

hai il problema omogeneo

di/dt + R/L i = 0

i(0) = Io

di/i = - R/L dt

ln i = - R/L t + C

i(t) = C e^(-R/L t) * 1(t)

i(0) = Io =>  i(t) = Io e^(-R/L t)* 1(t)

Allora

 

Io e^(- R/L T) = alfa Io

- R/L T = ln alfa

T = L/R ln (1/alfa)  e da qui sostituendo hai la soluzione indicata :

 

T = 8.1*10^(-5)/27 * ln 100 s = 1.38 * 10^(-5) s.