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[Risolto] Scrivere la matrice rispetto una base di f

  

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Ciao a tutti, c'è una cosa che non capisco.

Sia dato l'endomorfismo

$f\::\:\mathbb{R}^{3\:}\rightarrow \mathbb{R}^3$

$\left(x,y,z\right)\rightarrow \left(-2y-2z,-x+y+2z,\:x-2y-3z\right)$

Ho determinato autovalori ed autospazi di $f$ ed ho scoperto $f$ è semplice, adesso mi viene chiesto di scrivere una base $B$ di $\mathbb{R}^3$ fatta di autovettori e la matrice di $f$ rispetto alla base $B$.

Scrivo la base con gli autovettori che ho trovato:

$B=\:\left(1,-1,1\right),\left(2,1,0\right),\left(2,0,1\right)$

Adesso devo scrivere la matrice di $f$ rispetto a questa base, che non è altro che la matrice avente per diagonale gli autovalori, ovvero: $A\:=\:\begin{pmatrix}0&0&0\\ 0&-1&0\\ 0&0&-1\end{pmatrix}$.

E' qui il mio dubbio.

Quando dobbiamo scrivere la matrice dietro le quinte non facciamo altro che calcolare le immagini dei vettori che compongono la base, giusto? 

Cioè avrò: 

$f\left(1,-1,1\right)=\left(0,0,0\right)$

$f\left(2,1,0\right)=\left(-2,-1,0\right)$

$f\left(2,0,1\right)=\left(-2,0,-1\right)$.

$A=\:\begin{pmatrix}0&-2&-2\\ 0&-1&0\\ 0&0&-1\end{pmatrix}$

Ma non è identica a quella scritta sopra! E' possibile però renderla uguale riducendola.

C'è qualcosa che mi sfugge o che ignoro, grrr. 😡 

Qualcuno potrebbe illuminarmi la retta via? Grazie 😆 

 

 

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hai eseguito soltanto $A*B$ ma per cambiare base devi usare la seguente formula:

$D=B^{-1}*A*B$

dove con $D$ ho indicato la matrice diagonale che vuoi some risultato.

Quindi dovrei calcolare l'inversa di B ed aggiungerla nel prodotto? Ma che faticaccia 😆.

In esercizi del genere posso direttamente scrivere la matrice rispetto la base trovata semplicemente scrivendo una matrice diagonale con elementi gli autovalori, no? 😊 

 @ILoveYou si, le trasformazioni per similtudine funzionano così. La matrice diagonale avente gli autovalori sulla diagonale è possibile ottenerla soltanto quando per ogni autovalore la molteplicità geometrica è uguale alla molteplicità algebrica. Se questo non accade la forma "più ridotta" che puoi raggiungere è una matrice diagonale a blocchi che prende il nome di "matrice a blocchi di Jordan". 

L'inversa di B è semplice, qui di seguito i calcoli eseguiti con Matlab:

image

Okok, perfetto! Infatti durante la risoluzione avevo verificato le molteplicità e tutto era in ordine. Tutto chiaro, grazie mille!






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