Ciao a tutti, c'è una cosa che non capisco.
Sia dato l'endomorfismo
$f\}\rightarrow \mathbb{R}^3$
$\left(x,y,z\right)\rightarrow \left(-2y-2z,-x+y+2z,\:x-2y-3z\right)$
Ho determinato autovalori ed autospazi di $f$ ed ho scoperto $f$ è semplice, adesso mi viene chiesto di scrivere una base $B$ di $\mathbb{R}^3$ fatta di autovettori e la matrice di $f$ rispetto alla base $B$.
Scrivo la base con gli autovettori che ho trovato:
$B=\:\left(1,-1,1\right),\left(2,1,0\right),\left(2,0,1\right)$
Adesso devo scrivere la matrice di $f$ rispetto a questa base, che non è altro che la matrice avente per diagonale gli autovalori, ovvero: $A\\begin{pmatrix}0&0&0\\ 0&-1&0\\ 0&0&-1\end{pmatrix}$.
E' qui il mio dubbio.
Quando dobbiamo scrivere la matrice dietro le quinte non facciamo altro che calcolare le immagini dei vettori che compongono la base, giusto?
Cioè avrò:
$f\left(1,-1,1\right)=\left(0,0,0\right)$
$f\left(2,1,0\right)=\left(-2,-1,0\right)$
$f\left(2,0,1\right)=\left(-2,0,-1\right)$.
$A=\:\begin{pmatrix}0&-2&-2\\ 0&-1&0\\ 0&0&-1\end{pmatrix}$
Ma non è identica a quella scritta sopra! E' possibile però renderla uguale riducendola.
C'è qualcosa che mi sfugge o che ignoro, grrr. 😡
Qualcuno potrebbe illuminarmi la retta via? Grazie 😆
