[Risolto] Risoluzione disequazione 2° grado

Ciao! 

Effettivamente hai avuto un'intuizione corretta, moltiplicare tutto per $ \sqrt{6} $ è un'ottima idea!

Otterrai, quindi:

$ \sqrt{3}(2-\sqrt{3}x)+\sqrt{2}(x^2-\sqrt{2})+1+x>0 $

Che, moltiplicando e sommando i termini simili, diventa:

$ 2\sqrt{3}-3x+\sqrt{2}x^2-2+1+x>0 \rightarrow \sqrt{2}x^2-2x-1+2\sqrt{3}>0 $

Passando all'equazione associata ed applicando la formula risolutiva per le equazioni di 2° grado (con il $ \bigtriangleup/4 $) si ottiene:

$ x_{1,2}=\frac{1\pm \sqrt{1+\sqrt{2}-2\sqrt{6}}}{\sqrt{2}} $

Come si può verificare facilmente, $ 1+\sqrt{2}-2\sqrt{6}<0 $, infatti $ 1+\sqrt{2} $ è circa pari a $ 2.42 $, mentre $ 2\sqrt{6} $ è circa $ 4.9 $.

Questo significa che l'argomento della radice è negativo, e quindi l'equazione non ha soluzione nei reali.

Tuttavia, poiché il coefficiente di $ x^2 $ è positivo, $ \sqrt{2}x^2-2x-1+2\sqrt{3}>0 $ è sempre verificata, quindi tale quantità è positiva a prescindere dal valore di x (o, se preferisci, $ \forall x \in R $).

Spero di esserti stato d'aiuto!

SOLUZIONE E SPIEGAZIONE

$\Delta=24+24\sqrt{2}-48\sqrt{6}$

$\Delta=24\cdot(1+\sqrt{2}-2\sqrt{6})$

$\Delta=-59,63438$

Il discriminante $\Delta$ è negativo, questo significa che la parabola associata all’equazione non interseca l’asse delle ascisse $x$.

Inoltre, poiché il coefficiente di $x^{2}$ è positivo dato che è $2\sqrt{3}$, la parabola è rivolta verso l’alto.

Torniamo alla disequzione. La domanda è: per quali valori di $x$ un punto della parabola ha $y>0$?

Sempre ($\forall{x}\in\mathbb{R}$)! Perché la parabola è interamente sopra l’asse delle ascisse.

Prima di usare la formula risolutiva devi controllare se il discriminante $\Delta$ sia maggiore, uguale o minore di zero; perché negli ultimi due casi puoi risparmiarti i conti. Soprattutto quando $\Delta<0$, come in questo caso.

E ricorda, prima di buttarti sui conti, usa la logica! 😉 Perché più vai avanti nello studio e più capirai che i conti saranno sempre meno importanti dei concetti.

E CI CREDO CHE HAI AVUTO PROBLEMI, SEMBRI UN DIRIGENTE DELL'UCAS!
UCAS = Ufficio per la Complicazione degli Affari Semplici.
------------------------------
Questo è un affare semplice: addizionare le frazioni; sviluppare; ridurre; dividere membro a membro per il coefficiente direttore.
Poi risolvere la forma normale canonica monica ottenuta.
==============================
Con
* a = √2 > 0
* b = √3 > 0
* a*b = √6 > 0
si ha
* (2 - (√3)*x)/√2 + (x^2 - √2)/√3 + (1 + x)/√6 > 0 ≡
≡ (2 - b*x)/a + (x^2 - a)/b + (1 + x)/(a*b) > 0 ≡
≡ (a*x^2 + (1 - b^2)*x - a^2 + 2*b + 1)/(a*b) > 0 ≡
≡ x^2 + ((1 - b^2)/a)*x - a + 2*b/a + 1/a > 0 ≡
≡ x^2 - s*x + p = (x - X1)*(x - X2) > 0
dove
* s = - (1 - b^2)/a = √2 = a
* p = - a + 2*b/a + 1/a = √6 - 1/√2 = a*b - 1/a
da cui
* Δ = s^2 − 4*p = a^2 − 4*(a*b - 1/a) =
= a^2 - 4*a*b + 4/a =
= 2*(1 + √2 - 2*√6) ~= - 4.9695 < 0
QUINDI
poiché un trinomio quadratico monico con discriminante negativo è ovunque positivo il risultato atteso è dimostrato.