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[Risolto] Risoluzione disequazione 2° grado  

  

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Dato che negli scorsi giorni ho avuto problemi con questo tipo di disequazioni, ne sto facendo una dietro l'altra come un pazzo furioso!  🤪 

Mi son imbattuto in questa: $\frac{2-\sqrt{3}x}{\sqrt{2}}+\frac{x^2-\sqrt{2}}{\sqrt{3}}+\frac{1+x}{\sqrt{6}}>0$

Quello che ho fatto è stato razionalizzare ciascuna radice e svolgendo tutti i calcoli, si otterrà: $2\sqrt{3}x^2-2\sqrt{6}x-\sqrt{6}+6\sqrt{2}>\:0$

Da qui non so più come procedere, perché se provo a calcolare il delta mi ritrovo: $\Delta =\:24-4\left(2\sqrt{3}\right)\left(-\sqrt{6}+6\sqrt{2}\right)$

$\Delta = 24+24\sqrt{2}-48\sqrt{6}$... ed applicare la formula risolutiva con questo delta mi sembra un'assurdità 😵 

Come si risolve questa disequazione? 🤔 Il risultato è $\forall x\in \mathbb{R}$.

Grazie a chi risponderà. 

Aggiornamento: un'idea che mi è venuta è moltiplicare ciascuna frazione direttamente per $\sqrt{6}$. Ora ci provo e vediamo cosa ne esce fuori 🧐 

Aggiornamento 2: Questa manovra permette di risparmiare anni luce ma mi ritrovo con $+\sqrt{2}x^2-2x+2\sqrt{3}-1>\:0$ e non so più come procedere, anche qui il delta viene un ciccione: $\Delta =\:4-8\sqrt{6}-4\sqrt{2}$

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Ciao! 

Effettivamente hai avuto un'intuizione corretta, moltiplicare tutto per $ \sqrt{6} $ è un'ottima idea!

Otterrai, quindi:

$ \sqrt{3}(2-\sqrt{3}x)+\sqrt{2}(x^2-\sqrt{2})+1+x>0 $

Che, moltiplicando e sommando i termini simili, diventa:

$ 2\sqrt{3}-3x+\sqrt{2}x^2-2+1+x>0 \rightarrow \sqrt{2}x^2-2x-1+2\sqrt{3}>0 $

Passando all'equazione associata ed applicando la formula risolutiva per le equazioni di 2° grado (con il $ \bigtriangleup/4 $) si ottiene:

$ x_{1,2}=\frac{1\pm \sqrt{1+\sqrt{2}-2\sqrt{6}}}{\sqrt{2}} $

Come si può verificare facilmente, $ 1+\sqrt{2}-2\sqrt{6}<0 $, infatti $ 1+\sqrt{2} $ è circa pari a $ 2.42 $, mentre $ 2\sqrt{6} $ è circa $ 4.9 $.

Questo significa che l'argomento della radice è negativo, e quindi l'equazione non ha soluzione nei reali.

Tuttavia, poiché il coefficiente di $ x^2 $ è positivo, $ \sqrt{2}x^2-2x-1+2\sqrt{3}>0 $ è sempre verificata, quindi tale quantità è positiva a prescindere dal valore di x (o, se preferisci, $ \forall x \in R $).

Spero di esserti stato d'aiuto!

@gabriele22 E' proprio antipatica questa disequazione! 😆 

Quindi, in futuro, se in caso mi ritrovassi in un caso del genere, basta che guardo il segno del coefficiente direttivo ed il verso della disequazione?

In questo caso se fosse stato ad esempio $ \sqrt{2}x^2-2x-1+2\sqrt{3}<0 $, allora avremmo detto che non esiste x appartenente ad R? Questo perché coefficiente direttivo ed il verso son discordi, d'altronde $x^2$ non sarà mai minore di 0.

In caso di $\sqrt{2}x^2-2x-1+2\sqrt{3}\le 0$ invece sarebbe diventato $x=0$ ? 😲 qui non sono più sicuro a riguardo! 😆 

@ILoveYou Il coefficiente del termine di secondo grado ti indica la concavità della parabola: se il coefficiente è negativo, la parabola è rivolta verso il basso, se è positivo verso l'alto. 

Ora, se trovi che l'equazione associata non ha soluzioni, significa che la parabola non interseca l'asse x. Questo però, essendo la parabola una funzione continua, significa che essa si trova "tutta sopra l'asse x" o "tutta sotto l'asse x" e questa informazione ti è data dal coefficiente di $ x^2 $.

Se scopri che la parabola è rivolta verso l'alto e non ha intersezioni con l'asse x, di certo essa si troverà tutta al di sopra di quest'ultimo, e quindi la tua disequazione assume valori sempre positivi; se ti viene chiesto quando la disequazione è positiva, come risultato hai $ \forall x \in R $; se ti viene chiesto quando è negativa, ottieni come risultato "per nessun valore di x in R".

Al contrario, se la parabola è rivolta verso il basso e non ha intersezioni con l'asse x, di certo essa si troverà tutta al di sotto di quest'ultimo, e quindi la tua disequazione assume valori sempre negativi; se ti viene chiesto quando la disequazione è positiva, come risultato hai "per nessun valore di x in R"; se ti viene chiesto quando è negativa, ottieni come risultato $ \forall x \in R $,

 

Spero di esser stato chiaro, per qualsiasi dubbio dimmi. 😀

@gabriele22 Tutto chiaro, grazie mille! 😉 

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SOLUZIONE E SPIEGAZIONE

$\Delta=24+24\sqrt{2}-48\sqrt{6}$

$\Delta=24\cdot(1+\sqrt{2}-2\sqrt{6})$

$\Delta=-59,63438$

Il discriminante $\Delta$ è negativo, questo significa che la parabola associata all’equazione non interseca l’asse delle ascisse $x$.

Inoltre, poiché il coefficiente di $x^{2}$ è positivo dato che è $2\sqrt{3}$, la parabola è rivolta verso l’alto.

1CD3E69C BD16 457F 8487 ED736CEA9A78

Torniamo alla disequzione. La domanda è: per quali valori di $x$ un punto della parabola ha $y>0$?

Sempre ($\forall{x}\in\mathbb{R}$)! Perché la parabola è interamente sopra l’asse delle ascisse.

Prima di usare la formula risolutiva devi controllare se il discriminante $\Delta$ sia maggiore, uguale o minore di zero; perché negli ultimi due casi puoi risparmiarti i conti. Soprattutto quando $\Delta<0$, come in questo caso.

Ti consiglio di guardare qui la spiegazione più approfondita.

E ricorda, prima di buttarti sui conti, usa la logica! 😉 Perché più vai avanti nello studio e più capirai che i conti saranno sempre meno importanti dei concetti.

@US Cercando di utilizzare la calcolatrice meno possibile, non ci ho pensato. D'altronde non mi è nemmeno venuto in mente di utilizzare il metodo della parabola  😭 

Ho imparato una cosa nuova, grazie dei consigli! 😉 

@Iloveyou, prego! Felice di aver aiutato 😃

Sì, il metodo della parabola può essere molto comodo a volte, più di quello algebrico.

@ILoveYou, una curiosità... qual è il codice per il simbolo dei numeri reali che usi tu? 😄

Perché io uso \Re e il risultato è $\Re$, ma non mi piace molto.

@US Utilizzo \mathbb{R}

Il tuo è più da darkettone!  🤪 😆 

@ILoveYou, 👍🏻 grazie mille

Sì, 😂 non mi piace molto.

@US Di niente, grazie a te! 😍 

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E CI CREDO CHE HAI AVUTO PROBLEMI, SEMBRI UN DIRIGENTE DELL'UCAS!
UCAS = Ufficio per la Complicazione degli Affari Semplici.
------------------------------
Questo è un affare semplice: addizionare le frazioni; sviluppare; ridurre; dividere membro a membro per il coefficiente direttore.
Poi risolvere la forma normale canonica monica ottenuta.
==============================
Con
* a = √2 > 0
* b = √3 > 0
* a*b = √6 > 0
si ha
* (2 - (√3)*x)/√2 + (x^2 - √2)/√3 + (1 + x)/√6 > 0 ≡
≡ (2 - b*x)/a + (x^2 - a)/b + (1 + x)/(a*b) > 0 ≡
≡ (a*x^2 + (1 - b^2)*x - a^2 + 2*b + 1)/(a*b) > 0 ≡
≡ x^2 + ((1 - b^2)/a)*x - a + 2*b/a + 1/a > 0 ≡
≡ x^2 - s*x + p = (x - X1)*(x - X2) > 0
dove
* s = - (1 - b^2)/a = √2 = a
* p = - a + 2*b/a + 1/a = √6 - 1/√2 = a*b - 1/a
da cui
* Δ = s^2 − 4*p = a^2 − 4*(a*b - 1/a) =
= a^2 - 4*a*b + 4/a =
= 2*(1 + √2 - 2*√6) ~= - 4.9695 < 0
QUINDI
poiché un trinomio quadratico monico con discriminante negativo è ovunque positivo il risultato atteso è dimostrato.

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