[Risolto] Dimostrazione soluzioni equazione di secondo grado

Se la domanda è quella implicita nel titolo, allora la dimostrazione che cerchi fu pubblicata da Bramegupta nel settimo secolo e consiste di pochi e semplici passaggi.
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A) Scrivere l'equazione, in qualunque forma sia data, in forma canonica monica
* x^2 - s*x + p = 0
operazione sempre possibile se essa è di secondo grado.
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B) Completare il quadrato dei termini variabili; esprimere il termine noto come opposto di un quadrato.
* x^2 - s*x + p = 0 ≡
≡ (x - s/2)^2 - (s/2)^2 + p = 0 ≡
≡ (x - s/2)^2 - (√(s^2 - 4*p)/2)^2 = 0
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C) Applicare prima il prodotto notevole "differenza di quadrati" e poi la legge d'annullamento del prodotto.
* (x - s/2)^2 - (√(s^2 - 4*p)/2)^2 = 0 ≡
≡ (x - s/2 + √(s^2 - 4*p)/2)*(x - s/2 - √(s^2 - 4*p)/2) = 0 ≡
≡ (x - (s - √(s^2 - 4*p))/2)*(x - (s + √(s^2 - 4*p))/2) = 0 ≡
≡ (x = (s - √(s^2 - 4*p))/2) oppure (x = (s + √(s^2 - 4*p))/2)
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D) Rifinire il discorso.
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Se (s, p, x) sono reali, allora
* s^2 - 4*p < 0 da due radici complesse coniugate
* s^2 - 4*p = 0 da due radici reali coincidenti
* s^2 - 4*p > 0 da due radici reali distinte
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Se si considera la forma canonica non monica, con a != 0,
* a*x^2 + b*x + c = 0
allora si ha
* s = - b/a
* p = c/a

DIMOSTRAZIONE DELLA FORMULA RISOLUTIVA

Applicando il metodo del completamento del quadrato, possiamo dimostrare il seguente teorema.

L’equzione $ax^{2}+bx+c=0$, con $a≠0$,

• se $b^{2}-4ac>0$, ha due soluzioni reali e distinte: $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$;
• se $b^{2}-4ac=0$, ha due soluzioni reali coincidenti: $x=-\frac{b}{a}$;
• se $b^{2}-4ac<0$, non ha soluzioni reali.

Consideriamo una generica equazione di secondo grado

$ax^{2}+bx+c=0$

Portiamo il termine noto al secondo membro:

$ax^{2}+bx=-c$

Dividiamo tutti i termini per $a$, coefficiente del termine $x^{2}$ e diverso da $0$ per ipotesi:

$x^{2}+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$

Scriviamo $\frac{b}{a}x$ in modo che rappresenti un doppio prodotto:

$x^{2}+2\cdot{x}\cdot\frac{b}{2a}+……=……-\frac{c}{a}$

Completiamo il quadrato di un binomio aggiungendo $(\frac{b}{2a})^{2}$ in entrambi i membri:

$x^{2}+2\cdot{x}\cdot\frac{b}{2a}+(\frac{b}{2a})^{2}=(\frac{b}{2a})^{2}-\frac{c}{a}$

Riconosciamo al primo membro un quadrato di binomio:

$(x+\frac{b}{2a})^{2}=\frac{b^{2}}{4a^{2}}-\frac{c}{a}\Rightarrow(x+\frac{b}{2a})^{2}=\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}$

Distinguiamo tre casi:

• Caso 1

Se $b^{2}-4ac>0$, estraiamo la radice quadrata:

$x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

Otteniamo due soluzioni:

$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

• Caso 2

Se $b^{2}-4ac=0$:

$(x+\frac{b}{2a})^{2}=0$

Le due soluzioni coincidono:

$x+\frac{b}{2a}=0\Rightarrow{x}=-\frac{b}{2a}$

• Caso 3

Se $b^{2}-4ac<0$, abbiamo:

$\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}<0$

L’equazione è impossibile perché il quadrato $(x+\frac{b}{2a})^{2}$ non può essere uguale a un numero negativo.

 

DIMOSTRAZIONE DELLA FORMULA RISOLUTIVA RIDOTTA

Quando nell’equazione $ax^{2}+bx+c=0$ il coefficiente $b$ è un numero pari è utile applicare una formula, detta formula ridotta, che ricaviamo da quella generale nel modo seguente.

Raccogliamo $4$ sotto il segno di radice:

$x=\frac{-b\pm\sqrt{4(\frac{b^{2}}{4}-ac)}}{2a}=\frac{-b\pm2\sqrt{\frac{b^{2}}{4}-ac}}{2a}$

Dividiamo per $2$ il numeratore e il denominatore:

$x=\frac{-\frac{b}{2}\pm\sqrt{(\frac{b}{2})^{2}-ac}}{a}$

Per utilizzare questa formula, invece di $\Delta=b^{2}-4ac$ dobbiamo calcolare $(\frac{b}{2})^{2}-ac$, che si ottiene dividendo $\Delta$ per 4 e si indica con $\frac{\Delta}{4}$.

 

IL DISCRIMINANTE ($\Delta$)

Se $\Delta>0$, si ottengono due radici reali distinte.

Se $\Delta=0$, $x_{1}=x_{2}=\frac{-b\pm\sqrt{0}}{2a}$; si dice anche che la soluzione è doppia.

Se $\Delta<0$, l’equazione non ha soluzioni nell’insieme dei numeri reali $\mathbb{R}$.