[Risolto] Equazione di terzo grado

Già’ ti hanno spiegato come risolvere l’equazione con le formule di Cardano. Ti allego un procedimento per trovare con l’aiuto dei grafici e con un calcolo di approssimazione la soluzione approssimata che ti porta ad un valore dell’incognita con uno scarto minimo nell’approssimazione

La tua equazione è molto complicata e presenta 3 soluzioni: una reale e le altre due complesse. Queste soluzioni sono davvero brutte a vedersi e penso che l'unico modo per ricavarle sia quello di usare la formula per le equazioni di terzo grado (basta cercarla su google e appare subito)

SOLUZIONE

La soluzione appartenente hai numeri reali $\mathbb{R}$ è la seguente:

$-\frac{2^{\frac{2}{3}}}{2}-\sqrt[3]{2}-1$

$\Rightarrow$Qui puoi trovare il metodo risolutivo per le equazioni di terzo grado.

SEI PROPRIO SICURA D'AVERLA COPIATA BENE?
* 2*x^3 + 6*x^2 + 1 = 0
non ha radici razionali e l'unica radice reale è
* x = - 1 - 1/2^(1/3) - 2^(1/3) ~= - 3.053
che non solo è è complicata, ma ricavarla è anche un po' palloso: aggancia la cintura e partiamo.
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A) Divìdere membro a membro la forma normale canònica per il coefficiente direttore
* a*x^3 + b*x^2 + c*x + d = 0 ≡ [p = b/(3*a); q = c/a; r = d/a]
≡ f(x) = x^3 + 3*p*x^2 + q*x + r = 0
NEL CASO
* f(x) = x^3 + 3*x^2 + 1/2 = 0 [p = 1; q = 0; r = 1/2]
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B) Sostituire in f(x)
* x = (u - p) ≡ u = (x + p)
* x^2 = (u - p)^2 = u^2 - 2*p*u + p^2
* x^3 = (u - p)^3 = u^3 - 3*p*u^2 + 3*u*p^2 - p^3
ottenendo
* p(u) = u^3 + (q - 3*p^2)*u + (2*p^3 + r - p*q)
NEL CASO
* f(x) = (u - 1)^3 + 3*(u - 1)^2 + 1/2 = 0
* p(u) = u^3 - 3*u + 5/2
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C) Isolare il cubo
* f(x) = 0 ≡ p(u) = 0 ≡
≡ u^3 = (3*p^2 - q)*u + (p*q - 2*p^3 - r) ≡
≡ u^3 = 3*k*u + 2*h
con
* h = (p*q - 2*p^3 - r)/2
* k = (3*p^2 - q)/3]
NEL CASO
* h = - 5/4
* k = 1
* u^3 = 3*u - 5/2
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D) In quest'ultima forma (di Tartaglia, Del Ferro, Cardano) le tre radici in "u" si ottengono combinando opportunamente le tre radici cubiche dell'unità
* {1; (- 1 - i*√3)/2; (- 1 + i*√3)/2}
http://it.wikipedia.org/wiki/Radice_dell%27unit%C3%A0#Alcune_radici_di_1
con la radice cubica K del radicando
* R = h + √(h^2 - k^3) = h*(1 + √(1 - k^3/h^2))
cioè
* K = R^(1/3) = (h + √(h^2 - k^3))^(1/3)
con cui si formano le tre radici (almeno una reale, o tutt'e tre, ma non due)
* U1 = k/K + K
* U2 = - (1/2)*(k*(1 + i*√3)/K + K*(1 - i*√3))
* U3 = - (1/2)*(k*(1 - i*√3)/K + K*(1 + i*√3))
NEL CASO
* R = (- 5/4)*(1 + √(1 - 1^3/(- 5/4)^2)) = - 2
* K = R^(1/3) = (- 2)^(1/3) = - 2^(1/3) ~= - 1.26
* U1 = - 1/2^(1/3) - 2^(1/3)
da cui, per
* x = (u - p)
* X1 = - 1 - 1/2^(1/3) - 2^(1/3)