[Risolto] Rette tangenti

@giuliaaassss

La retta cercata ha quindi equazione:

y= 4x+k

 

La deriva della funzione data è:

y' = 2*e^(2x)

 

Imponendo la condizione y' = 4 determino le coordinate del punto di tangenza.

Quindi:

2*e^(2x) = 4

 

Da cui si ricava:

x= (1/2) ln(2)

 

Sostituendo il valore di x nella funzione determino il corrispondente valore di y

y= 2

 

Quindi il punto di tangenza è:

T= [(1/2)*ln(2) ; 2]

 

Imponendo la condizione di appartenenza del punto T al fascio di rette improprio ottengo la retta tangente.

 

2= 4*(1/2)*ln(2) + k

 

Da cui si ricava:

K= 2-ln(4)

 

Quindi l'equazione della retta tangente è:

y= 4x + [2-ln(4)]

@giuliaaassss 

Ciao.

Deve essere:

2·e^(2·x) = 4 in base al significato geometrico di derivata (m=4)

Quindi:   x = LN(2)/2

Per cui si ha:

{y = e^(2·(LN(2)/2))

{y = 4·(LN(2)/2) + q ( essendo la retta generica: y = 4·x + q)

per confronto abbiamo:

e^(2·(LN(2)/2)) = 4·(LN(2)/2) + q

2 = 2·LN(2) + q

ne consegue che: q = 2 - 2·LN(2)

Quindi la retta tangente: y = 4·x + (2 - 2·LN(2))

 

 

La pendenza del grafico di una funzione è la derivata della funzione graficata.
* r ≡ y = 4*x ha pendenza m = 4.
* f(x) = y = e^(2*x) ha pendenza m(x) = 2*e^(2*x)
che eguaglia quella di r nell'ascissa radice di
* 2*e^(2*x) = 4 ≡ x = ln(2)/2 = ln(√2)
dove l'ordinata vale
* f(ln(√2)) = y = e^(2*ln(√2)) = 2.
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Per il punto di tangenza T(ln(√2), 2) passano, oltre alla x = ln(√2), anche tutte le
* t(k) ≡ y = 2 + k*(x - ln(√2))
per ogni pendenza k reale. La richiesta tangente t è quella di pendenza k = m = 4
* t ≡ t(4) ≡ y = 2 + 4*(x - ln(√2)) ≡
≡ y = 2 + 4*x - 4*ln(√2) ≡
≡ y = 4*x + 2 - ln((√2)^4) ≡
≡ y = 4*x + 2 - ln(4)