Scrivi l'equazione del fascio di parabole con asse parallelo all'asse y, tangenti nel punto (2;7) alla retta y=2x+3.

y = ax^2 + bx + c     deve passare per (2,7) :

7 = 4a + 2b + c =>  c = 7 - 4a - 2b

Inoltre il delta della risolvente deve essere nullo :

ax^2 + bx + 7 - 4a - 2b  = 2x + 3

ax^2 + (b - 2) x + 4 - 4a - 2b = 0

Delta = b^2 - 4b + 4 - 4a (4 - 4a - 2b ) = 0

b^2 - 4 b + 4 - 16a + 16a^2 - 8b = 0.

Da qui non so isolare a o b, qualcuno più valente lo farà dopo di me

invece se scrivo mt = 2a xT + b

deduco 2 = 2a * 2 + b => b = 2 - 4a

y = ax^2 + (2 - 4a) x + 7 - 4a - 2(2 - 4a)

y = ax^2 - 2(2a - 1) x + 3 + 4a      con a =/= 0

Ogni parabola Γ "con asse parallelo all'asse y", vertice V(w, h), apertura a != 0, ha equazione
* Γ ≡ y = h + a*(x - w)^2
e pendenza
* m(x) = 2*a*(x - w)
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La retta
* t ≡ y = 2*x + 3
ha pendenza m = 2 e passa per T(2, 7)
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Ogni parabola
* Γ ≡ y = h + a*(x - w)^2
che sia tangente in T alla t deve
* passare per T(2, 7): 7 = h + a*(2 - w)^2
* ivi avere pendenza m = 2: 2*a*(2 - w) = 2
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La soluzione del sistema dei due vincoli
* (2*a*(2 - w) = 2) & (7 = h + a*(2 - w)^2) ≡
≡ (w = (2*a - 1)/a) & (h = (7*a - 1)/a)
determina
* V((2*a - 1)/a, (7*a - 1)/a)
* il luogo dei vertici y = x + 5, escluso x = 2
e la richiesta equazione del fascio
* Γ(a) ≡ y = (7*a - 1)/a + a*(x - (2*a - 1)/a)^2 ≡
≡ Γ(k) ≡ y = a*x^2 - 2*(2*a - 1)*x + 4*a + 3