[Risolto] rette e circonferenze

scrivi le equazioni delle rette tangenti alla circonferenza di equazione

x^2+y^2-2x-10y+13=0

condotte dal origine

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C(1;5)

R^2 = 13

Le due rette passano per O(0;0), quindi hanno equazioni:

y = mx 

mx - y = 0

|m - 5|/ rad(m^2 + 1) = rad(13)

m^2 - 10m + 25 = 13m^2 + 13

12m^2 + 10m - 12 = 0

Semplifichiamo: 6m^2 - 5m - 6 = 0

m1 = -2/3

m2 = 3/2

C(1:5)

R=radice 13

Fascio di rette proprio di centro O:

y=mx

Distanza centro - fascio = R

|5-m|/radice (1+m²)=radice (13)

Da cui si ricavano i valori del parametro:

m=-3/2 v m=2/3

La retta polare p(Γ, P) del punto P(u, v), il polo, rispetto alla conica Γ si ottiene dall'equazione di Γ in forma normale canonica, f(x, y) = 0, lasciandone inalterati i coefficienti e operando le sostituzioni (formule di sdoppiamento):
* x^2 → u*x
* y^2 → v*y
* x*y → (v*x + u*y)/2
* x → (u + x)/2
* y → (v + y)/2
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Se il punto P è interno alla conica Γ, p(Γ, P) non interessa il problema delle tangenti.
Se il punto P è sulla conica Γ, p(Γ, P) è la tangente in P.
Se il punto P è esterno alla conica Γ, p(Γ, P) interseca Γ nei punti di tangenza delle tangenti condotte da P.
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Dai dati
* Γ ≡ x^2 + y^2 - 2*x - 10*y + 13 = 0
* P(0, 0)
si ha
* p ≡ x*0 + y*0 - 2*(x + 0)/2 - 10*(y + 0)/2 + 13 = 0 ≡ y = (13 - x)/5
* (y = (13 - x)/5) & (x^2 + y^2 - 2*x - 10*y + 13 = 0) ≡
≡ A(- 2, 3) oppure (3, 2)
* t1 ≡ PA ≡ y = - 3*x/2
* t2 ≡ PB ≡ y = 2*x/3
e, come si vede dalle pendenze antinverse, le due tangenti sono ortogonali, cioè l'origine è un vertice del quadrato circoscritto.