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calcola la distanza del  punto P(0;6) dalla retta che passa per i punti A(2;3) e B(-1/2;1)

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Ciao

Retta per i due punti dati:

(y - 3)/(x - 2) = (1 - 3)/(- 1/2 - 2)

(y - 3)/(x - 2) = 4/5

y = 4·x/5 + 7/5

in forma implicita: 4·x - 5·y + 7 = 0

Distanza richiesta:

d = ABS(4·0 - 5·6 + 7)/√(4^2 + (-5)^2)

d = 23·√41/41    (circa d = 3.592

image

@lucianop ciao ma la formula non è y-y1/y2-y1=x-x1/x2-x1 ??

 

@stefagnagaga

Ciao. La stessa formula può scriversi in tanti modi diversi. Io la preferisco scrivere in questo modo mio ( anche se poi non è mio!)

@lucianop ah okay grazie




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Equazione della retta per 2 punti: A (2; 3) ;  B (- 1/2; 1);

y - y1 = [(y2 - y1) / (x2 - x1) ] * (x - x1);

oppure:

y = m x + q; retta generica.

Passaggio per A:

3 = (m * 2) + q;  ricaviamo q;

q = 3 - 2 m

passaggio per B:

1 = m * (- 1/2) + q,  sostituiamo q = 3 - 2 m:

1 = - 1/2 m + 3 - 2m;

1/2 m + 2m = 3 - 1;

5/2 m = 2;

m = 2 * 2/5 = 4/5; (coefficiente angolare);

q = 3 - 2 * 4/5 = 3 - 8/5 = 7/5; (termine noto);

y = 4/5 x + 7/5; (retta).

La distanza da una retta è perpendicolare alla retta;

Retta perpendicolare alla retta trovata, passante per P (0; 6):

m' = - 1/m = - 5/4;

y = - 5/4 * x + q;

Troviamo q imponendo il passaggio in P;

6 = 5/4 * 0 + q;

q = 6;

y = - 5/4 x + 6; (retta perpendicolare) 

y = 4/5 x + 7/5; (retta).

Punto di intersezione delle due rette: K (x; y)

- 5/4 x + 6 = 4/5 x + 7/5;

4/5 x +  5/4 x = 6 - 7/5;  mcd = 20;

16 x + 25 x = 120 - 28;
41 x = 92;

x = 92 / 41; (2,244 circa)

y = - 5/4 * 92/41 + 6 = - 115/41 + 6 = 131/41; (3,195, circa)

rdistanza

 

Coordinate di K:  K ( 92/41; 131/41);

Distanza P retta = distanza PK:

d = radice[(131/41 - 6)^2 + (92/41 - 0)^2];

d = radice[ 7,867 + 5,053) ;

d = radice(12,902) = 3,59 unità.

@stefagnagaga ciao

 

 

 

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Con i tre punti
* A(2, 3), B(- 1/2, 1), P(0, 6)
si ha la richiesta distanza
* |(2 - 0)*(1 - 6) - (- 1/2 - 0)*(3 - 6)|/√((2 - (- 1/2))^2 + (3 - 1)^2) =
= 23/√41 ~= 449/125 ~= 3.592
------------------------------
MOTIVAZIONE
Tre punti formano triangolo se non sono allineati; se sono allineati l'area del triangolo che li ha per vertici è zero.
L'area del triangolo che ha i vertici
* A ≡ P1(x1, y1), B ≡ P2(x2, y2), C ≡ P3(x3, y3)
è metà del valore assoluto di una semplice espressione delle coordinate
* S(ABC) = (1/2)*|(x1 - x3)*(y2 - y3) - (x2 - x3)*(y1 - y3)|
Ma l'area è anche, come visto alle elementari, il semiprodotto della base
* b = |AB| = √((x1 - x2)^2 + (y1 - y2)^2)
e dell'altezza
* h = distanza di C dalla retta del lato AB
cioè
* S(ABC) = b*h/2 = (1/2)*|(x1 - x3)*(y2 - y3) - (x2 - x3)*(y1 - y3)|
da cui
* h = |(x1 - x3)*(y2 - y3) - (x2 - x3)*(y1 - y3)|/√((x1 - x2)^2 + (y1 - y2)^2)

 




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