Nel triangolo $L M N$ la lunghezza del lato $L M$ è $6 \sqrt{21} cm$, quella del lato $M N$ è $50 cm$ e il seno dell'angolo compreso fra essi è $\frac{2}{5}$. Determina l'area del triangolo e il raggio della circonferenza circoscritta.
$$
\left[S_{1}=S_{2}=60 \sqrt{21} cm ^{2} ; r_{1}=95 cm , r_{2}=5 \sqrt{46} cm \right]
$$
Ho risolto ma trovo solo, un raggio. Perché nella soluzione ci sono due valori?
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Livello 1
Ho completato l'esercizio. Buonanotte.
Danno la medesima area, come detto bene da @exprof due triangoli uno acuto ed un altro ottuso in M per cui SIN(α) = SIN(pi - α) = 2/5. Quindi devi esaminare due casi.
In gradi sessadecimali hai quindi due possibilità:
α = 156.42° ∨ α = 23.58° (circa)
In entrambi i due casi hai come area:
Α = 1/2·LM·MN·(2/5)-------> Α = 1/2·6·√21·50·(2/5)-----> Α = 60·√21 cm^2
A te il calcolo dei due valori di r.
Per il raggio segui:
Per concludere:
c = 3° lato con formula di Carnot= √((6·√21)^2 + 50^2 - 2·50·6·√21·√21/5)
c = 4·√46 cm
Per cui:
r = 4·√46·6·√21·50/(240·√21)------> r = 5·√46 cm
(con angolo acuto: COS(α) = √(1 - (2/5)^2))-----> COS(α) = √21/5 caso di figura)
c = √((6·√21)^2 + 50^2 + 2·50·6·√21·√21/5)-----> c = 76 cm
con angolo ottuso COS(α) = - √21/5
r = 76·6·√21·50/(240·√21)------> r = 95 cm
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Genius II
Angoli supplementari hanno lo stesso seno
* arcsin(2/5) ~= 24°
* π - arcsin(2/5) ~= 156°
La descrizione del testo s'attaglia sia a un triangolo molto acuto che ad uno molto ottuso.
L'area di un parallelogramma è il prodotto di due lati consecutivi per il seno dell'angolo compreso.
Ciascuna diagonale del parallelogramma divide l'area in due; ma con triangoli diversi che pertanto hanno circumcerchi diversi.
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Genius I
@exprof grazie
