[Risolto] Quesito numero 540

@luigi2

 

Indichiamo rispettivamente con P1 e P2 i perimetri della sezione posta a distanza d dal vertice e quella a distanza 6l dal vertice, ossia il quadrato di lato 2l e perimetro 8l.

Quindi:

 

P1/P2 = d/6l

P1= (d/6l)*P2 = (4/3)*d

 

Il lato del quadrato di sezione è 

L1=P1/4 = (1/3)*d

 

Sappiamo che il lato del quadrato è congruente al diametro della circonferenza inscritta. Quindi:

 

R1= (1/6)*d

Possiamo quindi calcolare la superficie laterale e il volume del cilindro:

S_laterale = 2*pi*R1* (6l - d) =

                    = (pi/3)*d*(6l - d)

 

Quindi: S_laterale = (pi/3)*d*(6l - d)

 

Calcoliamo zeri e segno della derivata prima 

S'(d) =(pi/3)*(6l - 2d)

 

S'(d)=0 ==> 6l - 2d = 0

d=3l

 

S'(d)>0  ==> d< 3l

Quindi la superficie laterale è massima se d=3l

 

Analogamente conoscendo raggio:

R1=(1/6)*d

e altezza:

H=(6l - d) 

 

V(d) = pi*R1² * H

V(d) = (pi/36)*d² * (6l - d) 

 

posso calcolare il volume e trovare il valore di d che lo rende massimo. 

V'(d) = 0  ==> - 3d² + 12*l*d = 0

Da cui si ricava: d=0, d=4l

 

V'(d) > 0  ==>  0 < d < 4l

Quindi il volume del cilindro è massimo per d=4l

 

Tale valore è:

V=(pi/36)* 16 * l² * (6l - 4l) = (8/9) * pi * l³